我認為凡曾為數學努力過的人都很偉大，都值得敬佩。對歐拉更了解些或陰z會改變一些想法。
以下是我們即將出版之世界著名數學家傳記中有關歐拉之論文，謹供您參考。
孫文先 敬上
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\noindent{\kaiten 歐拉﹐{\rm L.\, (Euler﹐ Leonhard)} $1707$ 年 $4$ 月
$15$ 日生於瑞士巴塞爾~； $1783$ 年 $9$ 月 $18$ 日卒於俄國
聖彼得堡~。 數學~､力學~､天文學~､物理學~。 }
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歐拉的祖先原來居住在瑞士東北部博登湖 (康斯坦斯湖) 畔的小
城 ------ 林道~。十六世紀末~﹐ 他的曾祖父漢斯•喬治•歐拉 (Hans Georg Euler)
帶領全家順萊茵河而下~﹐ 遷居巴塞爾~。 這個家族幾代人多為手
藝勞動者~。 歐拉的父親保羅•歐拉 (Paul Euler) 則
畢業於巴塞爾大學神學
系~﹐ 是基督教新教的牧師~。 1706 年~﹐ 保羅與另一位牧師的女兒
瑪格麗特•勃魯克 (Margaret Brucker) 結婚~。 翌年
春~﹐ 歐拉降生~。 1708 年~﹐ 保羅
舉家遷居巴塞爾附近的村莊 ------ 里亨 (Riehen)~。 歐拉就在這田園
靜謐的鄉村度過他的童年~。
歐拉的父親很喜愛數學。 還在大學讀書時~﹐ 他就常去聽雅格布
•伯努利 (Jacob Bernoulli) 的數學講座~。 他親自
對歐拉進行包括數學在內的
啟蒙教育~﹐ 並盼望兒子成為名門的後起之秀~。 賢惠的母親為了
使歐拉及時受到良好的學校教育~﹐ 把他送到巴塞爾外祖母家生
活了幾年~﹐ 入那裡的一所文科中學唸書~。 可是~﹐ 這所學校不
教數學~。 勤勉好學的歐拉獨自隨業餘數學家 J.\, 伯克哈特 (Burckhart) 學習~。
歐拉聰敏早慧~﹐ 酷愛數學~。 他曾下苦布蒛� C.\, 魯道夫 (Rudolf) 的《~代
數學~》 (Algebra﹐1553) 達數年之久~。
1720 年秋﹐年僅十三歲的歐拉進了巴塞爾大學文科~。 當時~﹐ 約翰
•伯努利 (Johann Bernoulli) 任該校數學教授~。 他每
天講授基礎數學課程~﹐ 同時
還給那些有興趣的少數高材生開設更高深的數學､物理學講座~。
歐拉是約翰•伯努利的最忠實的聽眾~。 他勤奮地學習所有的科
目~﹐ 但仍不滿足~。 歐拉後來在自傳中寫道~： “……不久~﹐ 我
找到了一個把自己介紹給著名的約翰•伯努利教授的機會~。 ……他
確實忙極了~﹐ 因此斷然拒絕給我個別授課~。 但是~﹐ 他給
了我釵h更加寶貴的忠告~﹐ 使我開始獨立地學習更困難的數學
著作~﹐ 盡我所能努力地去研究它們~。 如果我遇到什麼障礙或困
難~﹐ 他允釦琩C星期六下午自由去找他~﹐ 他總是和藹地為我解
答一切疑難……~﹐ 無疑~﹐ 這是在數學學科上獲得成左熙怞n的
方法~。 ”約翰的兩個兒子尼古拉•伯努利 II (Nicolaus
Bernoulli II)~､丹尼爾•伯努利 (Daniel Bernoulli)~﹐ 也成了歐拉的摯友~。
1722 年夏﹐歐拉在巴塞爾大學獲學士學位~。 翌年~﹐ 他又獲哲學
碩士學位~。但授予這一學位是在 1724 年 6 月 8 日的會議上正式通
告的~。 此前~﹐ 他為了滿足父親的願望~﹐ 於 1723 年秋又入神學系~。
他在神學~､希臘語~､希伯萊語方面的學習並不成外。 他仍把大
部分時間花在數學上~。 儘管歐拉後來徹底放棄了當牧師的念頭~﹐
但他卻終生虔誠地信奉基督教~。
歐拉十八歲開始其數學研究生涯。1726 年﹐ 他在《博學者》
(Acta eruditorum) 上發
表了關於在有阻尼的介質中的等時曲線結構問題的文章~。 翌年~﹐ 他研
究彈道問題和船桅的最佳佈置問題~。 後者是這年巴黎科
學院的有獎徵文課題~。 歐拉的論文雖未獲得獎金~﹐ 卻得到了榮
譽提名~。 此後~﹐ 從 1738 年至 1772 年~﹐ 歐拉共獲得巴黎科學院十二次獎金~。
在瑞士﹐當時青年數學家的工作條件非常艱難~﹐ 而俄國新組建
的聖彼得堡科學院正在網羅人才~。 1725 年秋~﹐ 尼古拉 II 和丹尼
爾應聘前往俄國~﹐ 並向當局力薦歐拉~。 翌年秋~﹐ 歐拉在巴塞
爾收到聖彼得堡科學院的聘書~﹐ 請他去那裡任生理學院士助理~。
然而~﹐ 故土難離~。 歐拉開始用數學和力學方法研究生理學~﹐
同時仍期望在巴塞爾大學找到職位~。 恰好~﹐ 這時該校有一位物
理學教授病故~﹐ 出現空席~。 歐拉向學校教授議會遞交了“~論聲
音的物理學原理~” (Dissertatio physica de sono﹐1727) 的論
文~﹐ 爭取教授資格~。 在激烈的競爭中~﹐
未滿二十歲的歐拉落選了~。 1727 年 4 月 5 日歐拉告別故鄉~﹐ 5 月
24 日抵達聖彼得堡~﹐ 從那時起~﹐ 歐拉的一生和他的科學工作都
緊密地同聖彼得堡科學院和俄國聯繫在一起~。 他再也沒有回到
瑞士~。 但是~﹐ 出於對祖國的深厚感情~﹐ 歐拉始終保留了他的瑞士國籍~。
歐拉到達聖彼得堡後﹐立即開始研究工作。 不久~。 他獲得了
在真正擅長的領域從事研究工作的機會~。 1727 年~﹐ 他被任命為科
學院數學部助理院士~。 他撰寫的關於聖彼得堡科學院學術會議
情況的調查報告~﹐ 也開始在《~聖彼得堡科學院彙刊 (1727)~》
(Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae) 第二卷
(St. Petersburg﹐1729) 上發表~。 儘管那些年俄國政局動蕩~﹐
聖彼得堡科學院還處在
艱難歲月之中~﹐ 但周圍的學術氣氛對發展歐拉的才華特別有利~﹐
那裡聚集著一群傑出的科學家~﹐ 如數學家 C.\, 哥德巴赫 (Goldbach)~､丹
尼爾•伯努利~﹐ 力學家 J.\, 赫爾曼 (Hermann)~﹐ 三角
學家 F.\, 梅爾 (Maier)~﹐ 天文學家和地理學家 J.N.\, 德萊索
(Delisle) 等~。 他們同歐拉的個人情誼與共
同的科學興趣~﹐ 使得彼此在科研工作中配合默契､相得益彰~。
1731 年~﹐ 歐拉成為物理學教授~。 1733 年~﹐ 丹尼爾•伯努利返回巴
塞爾後~﹐ 歐拉接替了他的數學教授職務~﹐ 擔負起領導科學院數
學部的重任~。 這對親密的朋友~﹐ 以後通信四十多年~﹐ 促進了科
學的競爭和發展~。 是年冬~﹐ 歐拉和科學院預科學校的美術教師~､
瑞士畫家 G.\, 葛塞爾 (Gsell) 的女兒柯黛林娜 $\bullet$ 葛塞爾
(Katharina Gsell) 結婚~。 翌年~﹐
其長子約翰 $\bullet$ 阿爾勃蘭克 (Johann Albrecht) 降生~。 1740
年~﹐ 卡爾 (Karl) 出世~。 恬靜~､
美滿的家庭生活伴隨著歐拉科學生涯的第一個黃金時期~。
還在聖彼得堡科學院建成之初﹐ 俄國政府就責成它除了進行純
科學研究之外~﹐ 還要培養､訓練俄國科學家~。 為此~﹐ 科學院
建立了一所大學和預科學校~﹐ 大學辦了近五十年~﹐ 預科學校一直
辦到 1805 年~。 俄國政府還委託科學院制定俄國的地圖~﹐ 解決各種
具體技術問題~。 歐拉積極參與並領導了科學院的這些工作~。 從
1733 年起~﹐ 他和德萊索成它a進行了地圖研究~。 從三十年代中期開
始~﹐ 歐拉以極大的精力研究航海和船舶建造問題~。 這些問題對
於俄國成為海上強國~﹐ 是具有重大意義的~。 歐拉是各種技術委
員會的成員~﹐ 又擔任科學院考試委員會委員~。 他既要為科學院
的期刊撰稿､審稿~﹐ 還要為附屬大學~､預科學校準備講義~､開
設講座~﹐ 工作十分忙碌~。 然而~﹐ 他的主要成就是在數學研究上~。
在聖彼得堡的頭十四年間﹐ 歐拉以無可匹敵的工作效率在分析學~､
數論和力學等領域作出釵h輝煌的發現~。 截止 1741 年~﹐ 他完成了
近九十種著作~﹐ 公開發表了 55 種~﹐ 其中包括 1936 年完成的兩卷本《~力
學或運動科學的分析解說》 (Mechanica sive motus scientia
analytice exposita)~。 他的研究碩果累累~﹐ 聲
望與日俱增~﹐ 贏得了各國科學家的尊敬~。 歐拉從前的導師約翰
•伯努利早在 1728 年的信中就稱他為“最善於學習和最有天賦的科
學家~”~﹐ 1737 年又稱他是“~最馳名和博學的數學家”~。 歐拉後來
謙遜地說~： “……我和所有其他有幸在俄羅斯帝國科學院工作
過一段時間的人都不能不承認~﹐ 我們應把所獲得的一切和所掌
握的一切歸尼畯怞b那兒擁有的有利條件~。 ”
由於過度的勞累﹐1738 年﹐ 歐拉在一場疾病之後右眼失明了~。
但他仍舊堅韌不拔地工作~。 他熱愛科學~﹐ 熱愛生活~。 他非常
喜歡孩子 (他一生有過十三個孩子~﹐ 除了五個以外都夭亡了)~。
寫論文時往往膝上抱著嬰兒~﹐ 大一點的孩子則繞膝戲耍~。 他酷
愛音樂~。 在撰寫艱深的數學論文時~﹐ 他的“那種輕鬆自如是令人難以置信的”~。
1740 年秋冬﹐俄國政局再度驟變﹐ 形勢極不安定~。 歐拉此時與
聖彼得堡科學院粗魯､專橫的顧問 J.D.\, 舒馬赫爾 (Schumacher)
也產生了磨擦~。 為了使自己的科學事業不愛損害~﹐ 歐拉希望尋求新的出路~。
恰好這年夏天繼承了普魯士王位的腓特烈 (Frederick) 大帝決定重振柏林科
學院~﹐ 他熱情邀請歐拉去柏林工作~。 歐拉接受了邀請~。 1741 年
6 月 19 日~﹐ 歐拉啟程離開聖彼得堡~﹐ 7 月 25 日抵達柏林~。
柏林科學院是在 G.W.\, 萊布尼茨 (Leibniz) 的大力推動下於 1700
年創立的~﹐ 後來它衰落了~。 歐拉在柏林 25 年~。 那時~﹐ 他精力旺盛~﹐ 不知疲
倦地工作~。 他鼎力襄助院長 P.\, 莫佩蒂 (Maupertuis)~﹐ 在恢復
和發展柏林科學院的工作中發揮了重作用~。
在柏林~﹐ 歐拉任科學院數學部主任。 他是科學院的院務委員､
圖書館顧問和學術著作出版委員會委員~。 他擔負起了其他釵h
行政事務~﹐ 如管理天文台和植物園~﹐ 提出人事安排~﹐ 監督財
務~﹐ 以及曆書和地圖的出版工作~。 當院長莫佩蒂外出期間~﹐
歐拉代理院長~﹐ 1759 年莫佩蒂去世後~﹐ 雖然沒有正式任命歐拉為
院長~﹐ 但他實際上一直領導著科學院的工作~。 歐拉和莫佩蒂的
友誼~﹐ 使歐拉能對柏林科學院的一切活動~﹐ 尤其是在選拔院士
方面~﹐ 施加巨大影響~。
歐拉還擔任過普魯士政府關於安全保險､退休金和撫恤金等問題
的顧問~﹐ 並為腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果 (1745 年)~﹐
設計改造費諾 (Finow) 運河 (1749 年)~﹐ 曾主管普魯士皇家別墅水力系統
管系和泵系的設計工作~。 他和德國釵h大學的教授保持廣泛聯
繫~﹐ 對大學教科書的編寫和數學教學起了促進作用~。
在此期間﹐ 歐拉一直保留著聖彼得堡科學院院士資格~﹐ 領取年
俸~。 受該院委託~﹐ 歐拉為其編纂院刊的數學部分~﹐ 介紹西歐
的科學思想~﹐ 購買書籍和科學儀器~﹐ 同時推薦研究人員和課題~。
他在培養俄國的科學人才方面起了重大的作用~。 他還經常把自
己的學術論文寄往聖彼得堡~。 他的論文約有一半是用拉丁文在
聖彼得堡發表的~﹐ 另一半用法文在柏林出版~。 另外~﹐ 他還先
後當選為倫敦皇家學會會員 (1749 年)~。 巴塞爾物理數學會會員
(1753 年) 及巴黎科學院院士 (1755 年)~。
柏林時期是歐拉科學研究的鼎盛時期﹐ 其研究範圍迅速擴大~。
他與 J.R.\, 達朗貝爾 (D'Alembert) 和丹尼爾•伯努利
展開的學術競爭奠定了數學
物理的基礎~； 他與 A.\, 克萊羅 (Clairaut) 和達朗貝爾一起推進了月球和行
星運動理論的研究~。 與此同時~﹐ 歐拉詳盡地闡述了剛體運動理
論~﹐ 創立了流體動力學的數學模型~﹐ 深入地研究了光學和電磁
學~﹐ 以及消色差折射望遠鏡等釵h技術問題~。 他寫了大約 380 篇
(部) 論著出版了其中的 275 種~。 內有分析學､力學､ 天文學~､
火炮和彈道學､船舶建造和航海等方面的幾部巨著~﹐ 其中 1748 年
出版的兩卷集著作《無窮分析引論》 (Introductio in analysin
infinitorum) 在數學史上佔有十分重要的地位~。
歐拉參加了十八世紀四十年代關於萊布尼茨和 C.\, 沃爾夫 (Wolff)
的單子論的激烈辯論~。 歐拉在自然哲學方面接近 R.\, 笛卡兒 (Descartes)
的機械唯物主義~﹐ 他和莫佩蒂都是單子論的“勁敵”~。 1751 年~﹐ S.\, 柯
尼格 (K\"onig) 以聳人聽聞的新論據~﹐ 發表了幾篇批評莫佩蒂的“~最小作用原
理~”的文章~。 歐拉翌年撰文反駁~﹐ 並同莫佩蒂用更淺顯的語言
來解釋最小作用原理~。 除了這些哲學和科學的爭論以外~﹐ 對於
數學的發展來說~﹐ 歐拉參加了另外三場更重要的爭論~： 與達朗
貝爾關於負數對數的爭論~； 與達朗貝爾~､丹尼爾•伯尼利關於
求解弦振動方程的爭論~； 與 J.\, 多倫 (Dollond) 關於光學問題的爭論~。
1759 年莫佩蒂去世後﹐歐拉在普魯士國王的直接監督之下負責柏
林科學院的工作~。 歐拉同腓特烈大帝之間的關係並不融洽~。 1763
年~﹐ 當獲悉腓特烈想把院長的職務授予達朗貝爾後~﹐ 歐拉開始
考慮離開柏林~。 聖彼得堡科學院立即遵照凱瑟琳 (Catherine) 女皇旨意
寄給歐拉聘書~﹐ 誠摯希望他重返聖彼得堡~。 但是達朗貝爾拒絕
長期移居柏林~﹐ 使腓特烈一度推遲就院長人選作最後的決定~。
“~七年戰爭~”之後~﹐ 腓特烈粗暴地干涉歐拉對柏林科學院的事
務管理~。 1765 年至 1766 年~﹐ 在財政問題上~﹐ 歐拉與腓特烈之間引
發了一場嚴重的衝突~。 他懇請普魯士國王同意他離開柏林~。 1766
年 7 月 28 日~﹐ 歐拉重返聖彼得堡~﹐ 他的三個兒子和兩個女兒也
回到俄國~﹐ 伴於身旁~。
歐拉的家安置在涅瓦河畔離聖彼得堡科學院不遠的舒適之處~。
他的長子阿爾勃蘭克這年成為科學院院士､物理學部教授~﹐ 三
年後又被任命為科學院的終身秘書~。 1766 年~﹐ 歐拉父子還同時當
選為科學院執行委員~。 歐拉的工作是順心的~﹐ 然而~﹐ 厄運也
接二連三地向他襲來~。 回到聖彼得堡不久~﹐ 一場疾病使歐拉的
左眼幾乎完全失明~。 這時~﹐ 他已經不能再看書了~。 只能勉強
看清大字體的提綱~﹐ 用粉筆在石板上寫很大的字母~。 1771 年~﹐
歐拉雙目完全失明~。 這一年~﹐ 聖彼得堡的一場特大火災又使歐
拉的住所和財產付之一炬~﹐ 僅搶救出歐拉及其手稿~。 1773 年 11 月~﹐
歐拉夫人柯黛琳娜去世~。 三年後~﹐ 她同父異母的妹妹莎洛姆
•葛塞爾 (Salome Gsell) 成為歐拉的第二個妻子~。
歐拉晚年遭受雙目失明､火災和喪偶的沉重打擊~﹐ 他仍不屈不
撓地奮鬥~﹐ 絲毫沒有減少科學活動~。 在他的周圍~﹐ 有一群主
動的合作者~﹐ 包括~： 他的兒子阿爾勃蘭克和克利斯托夫 (Christoph)~；
W.L.\, 克拉夫特 (Krafft) 院士和 A.J.\, 萊克塞爾 (Lexell)
院士~； 兩位年輕的助手 N.\, 富
斯 (Fuss) 和 M.E.\, 哥洛文 (Golovin)~。 歐拉和他們一起討
論著作出版的總計劃~﹐ 有時簡要地口述研究成果~。 他們則使歐拉的設想變得更加明
確~﹐ 有時還為歐拉的論著編纂例證~。 據富斯自己統計~﹐ 七年
內他為歐拉整理論文 250 篇~﹐ 哥洛文整理了 70 篇~。 歐拉非
常尊重別人的勞動~。 1772 年出版的《月球運動理論和計算方法~》
(Theoria motuum lunae﹐nova methodo pertractata) 是在阿爾
勃蘭克､克拉夫特和萊克塞爾的幫助下完成的~﹐ 歐
拉把他們的名字都印在在這本書的扉頁上~。
重返聖彼得堡後﹐ 歐拉的著作出版得更多~。 他的論著幾乎有一
半是 1765 年以後出版的~。 其中~﹐ 包括他的三卷本《~積分學原理~》
(Institutiones calculi integralis﹐1768--1770) 和《~關於物
理學和哲學問題給德韶公主的信》 (Lettres \`a une princesse
d'Allemagne Sur divers sujets de physique et de philosophie﹐
1768--1772)~。 前者的最
重要部分是在柏林完成的~。 後者產生於歐拉給普魯士國王的姪
女的授課內容~。 這本文筆優雅､通俗易懂的科學著作出版後~﹐
很快就在歐洲翻譯成多種文字~﹐ 暢銷各國~﹐ 經久不衰~。 歐拉
是歷史上著作最多的數學家~。
歐拉的多產也得益於他一生非凡的記憶力和心算能力~。 他七十歲
時還能準確地回憶起他年輕時讀過的荷馬史詩《伊利亞特》 (Iliad) 每
頁的頭行和末行~。 他能夠背誦出當時數學領域的主要公式和前
100 個質數的前六次冪~。 M.\, 孔多塞 (Condorcet) 講述過一個
例子~﹐ 足以說明歐拉的心算本領~： 歐拉的兩個學生把一個頗為複雜的收斂級數
的 17 項相加起來~﹐ 算到第 50 位數字時因相差一個單位而產生了
爭執~。 為了確定誰正確~﹐ 歐拉對整個計算過程進行心算~﹐ 最
後把錯誤找出來了~。
1783 年 9 月 18 日﹐ 歐拉跟往常一樣﹐ 度過了這一天的前半天~。
他給孫女輔導了一節數學課~﹐ 用粉筆在兩塊黑板上作了有關氣
球運動的計算~﹐ 然後同萊克塞爾和富斯討論兩年前 F.W.\, 赫歇爾 (Herschel)
發現的天王星的軌跡計算~。 大約下午 5 時~﹐ 歐拉突然腦出血~﹐
他只說了一句“~我要死了~”~﹐ 就失去知覺~。 晚上 11 時~﹐ 歐
拉停止了呼吸~。
歐拉逝世不久﹐富斯和孔多塞分別在聖彼得堡科學院和巴黎科
學院的追悼會上致悼詞~。 孔多塞在悼詞的結尾耐人尋味地說~：
“~歐拉停止了生命~﹐ 也停止也計算~。 ”
歐拉的著作在他生前已經有多種輸入了中國﹐ 其中包括著名的~､
1748 年初版本的《無窮分析引論》~。 這些著作有一部分曾藏於北
京北堂圖書館~。 它們是十八世紀四十年代由聖彼得堡科學院贈給北
京耶穌會或北京南堂耶穌學院的~。 這也是中俄數學早期交流的
一個明證~。十九世紀七十年代~﹐ 清代數學家華蘅芳和英國人傅蘭雅
(John Fryer) 合譯的《代數術》 (1873) 和《~微積溯源~》 (1874)~﹐
都介紹了歐拉學說~。
在此前後~﹐ 李善蘭和偉烈亞力 (Alexander Wylie) 合譯的《~代數
學~》 (1859)~､趙元益
譯的《~光學~》 (1876)~､黃鍾駿的《疇人傳四編》 (1898) 等著作也記載了歐
拉學說或歐拉的事蹟 (~詳見文獻 [32])~。 中國人民是很早熟悉歐
拉的~。 歐拉不僅屬於瑞士~﹐ 也屬於整個文明世界~。 著名數學
史家 А.П. 尤什凱維奇 ({\cc Юшкевич}) 說~﹐ 人們可以藉 B.\,
弗坦內里 (Fontenelle) 評價萊布尼茨的話來評價歐拉~﹐ “他是樂於看到自己提
供的種子在別人的植物園裡開花的人~。 ”
\v 14pt
在歐拉的全部科學貢獻中~﹐ 其數學成就佔據最突出的地位~。 他
在力學､天文學､物理學等方面也閃現著耀眼的光芒~。
\vskip 14pt
\centerline{\sonmid 數\hskip 45pt學}
\v 10pt
歐拉是十八世紀數學界的中心人物。 他是繼 I.\, 牛頓 (Newton) 之後最重要
的數學家之一~。 在歐拉的工作中~﹐ 數學緊密地和其他科學的應
用~､各種技術問題的應用以及公眾的生活聯繫在一起~。 他常常
直接為解決力學~､天文學~､物理學~､航海學~､地理學~､大地測量
學~､流體力學~､彈道學~､保險業和人口統計學等問題提供數學方
法~。 歐拉的這種面向實際的研究風格~﹐ 使得人們常說~： 應用
是歐拉研究數學的原因~。 其實~﹐ 歐拉對數學及其應用都十分愛
好~。 作為一位數學家~﹐ 歐拉把數學用到整個物理領域中去~。
他總是首先試圖用數學形式表示物理問題~﹐ 為解決物理問題而
提出一種數學思想並系統地發展和推廣這一思想~。 因此~﹐ 歐拉
在這個領域中的傑出成就作為一個整體~﹐ 可以用數學語言加以
系統地闡述~。 他酷愛抽象的數學問題~﹐ 非常著迷於數論就是例
子~。 歐拉的數學著作在其各種科學著作中所佔的比重也明顯地
說明了這一點~。 現代版的《歐拉全集》 (Leonhardi Euleri Opera
omnia﹐1911--？) 72 卷 (74 部分~； 近況詳
見文獻 [1]) 中有 29 卷屬於純粹數學~。
歐拉在連續和離散數學這兩方面都同樣有著力~﹐ 這是他的多方面
天才的最顯著的特點之一~。 但是~﹐ 在他的數學研究中~﹐ 首推
第一的是分析學~。 這同他所處的時代~﹐ 特別是當時自然科學對
分析學的迫切需要有關~。 歐拉把由伯努利家族繼承下來的萊布
尼茨學派的分析學的內容進行整理~﹐ 為十九世紀數學的發展打下
了基礎~﹐ 他還把微分積分法在形式上進一步發展到複數的範圍~﹐
並對偏微分方程~､橢圓函數論､ 變分法的創立和發展留下先
驅的業績~。 在《~歐拉全集~》中~﹐ 有 17 卷屬於分析學領域~。 他
被同時代的人譽為“~分析的化身~”~。
歐拉的計算能力﹐特別是他的形式計算和形式變換的高超技巧~﹐
無與倫比~。 他始終不渝地探求既能簡明應用於計算~﹐ 又能
保證計算結果足夠準確的算法~﹐ 只是在十九世紀開始的“~注意嚴
密性~”方面~﹐ 略顯不足~。 他沒有適當地注意包含無限過程的公
式的收斂性和數學存在性~。 歐拉還是釵h新的重要概念和方法
的創造者~。 這些概念和方法的重要價值~﹐ 有時只是在他去世一
個世紀甚至更長的時間以後才被人們徹底理解~。 譬如~﹐ 美籍華
人數學家陳省身教授說過~： “歐拉示性數是整體不變量的一個源泉~。 ”
歐拉是在數學研究中善於用歸納法的大師~。 他用歸納法~﹐ 也就
是說~﹐ 他憑觀察､大膽猜測和巧妙證明得出了釵h重要的發現~。
但他告誡人們~： “我們不要輕易地把觀察所發現的和僅以歸納
為旁證的關於數的那樣一些性質信以為真~。 ”歐拉從不用不完
全的歸納來最後證明他提出的假定是正確的~。 他的研究結果本
質上是建立在嚴密的論證形式之上的~。
歐拉採用了釵h簡明､精煉的數學符號~。 譬如~﹐ 用 $e$ 表示自然
對數的底~﹐ $f(x)$ 表示函數~﹐ $\int_n$ 表示數 $n$ 的
約數之和~﹐ $\Delta y,\ \Delta^2 y,\ $ … 表示有
限差分~﹐ $\sum$ 表示求和~﹐ $i$ 表示虛數單位 $\sqrt{-1}$~﹐
還有現代三角函數符號~﹐ 等等~。 這些符號從十八世紀一直沿用至今~。
在數學領域內﹐十八世紀可以正確地稱為歐拉世紀~。 約翰•伯努
利在給歐拉的一封信中說過~：“~我介紹高等分析的時候~﹐ 它還
是個孩子~﹐ 而你正在把它帶大成人~。 ” P.S.\, 拉普拉斯 (Laplace) 常常告訴
年輕的數學家們~：“~讀讀歐拉~﹐ 讀讀歐拉~﹐ 他是我們大家的
老師~。~”歐拉對數學發展的影響不限於那個時期~。十九世紀最著
名的數學家 C.F.\, 高斯 (Gauss)~､A.L.\, 柯西 (Cauchy)~､
М.И. 羅巴切夫斯基 ({\cc Лобачевский})~､П.Л. 切比雪夫
({\cc Чебышев})~､ C.F.B.\, 黎曼 (Riemann) 常從歐拉的工作出發開展自
己的工作~。 高斯說過~： “歐拉的工作的研究將仍舊是對於數學不同範圍的最好學
校~﹐ 並且沒有任何別的可以替代它~。 ”人們還可以從由切比雪夫
奠基的聖彼得堡數學學派追溯歐拉開闢的眾多道路~。
\v 10pt
{\heiten 1.\h 10pt 數論}
\v 5pt
古代希臘和中國的數學家研究過數的性質。十七世紀﹐P. de 費馬 (Fermat)
開闢了近代數論的道路~。 他提出了若干值得注意的算術定理~﹐
但幾乎未留下任何證明~。 歐拉的一系列成果奠定了作為數學中
一個獨立分支的數論的基礎~。
歐拉的著作有很大一部分同數的可除性理論有關~。 他很早就採
用了同餘概念~﹐ 1736 年~﹐ 歐拉首先證明了數論中重要的費馬小定
理~。 1760 年~﹐ 他引進函數 $\phi(n)$~﹐ 給出了這個定理的重要推廣~： 如
果 $a$ 與 $n$ 互質~﹐ 則 $a^{\phi (n)}-1$ 可以被 $n$
整除~。 這就是歐拉定理~。 其中~﹐ $\phi (n)$ 表示小於 $n$ 且與 $n$
互質的正整數的個數~﹐ 叫歐拉函數~。
歐拉在數論中最重要的發現是二次互反律~。 它表述在 1783 年的一
篇論文中~﹐ 但未給予證明~。 這個定理的敘述實際上早已包含在
歐拉以前寫的論文中了~﹐ 只是未引起同時代人的注意~。 二次
互反律是十九世紀數論中的最富有首創精神､可能引出最多成果的
發現~。後來~﹐ A.M.\, 勒讓德 (Legendre) 重新發現並不完全地證明了它~。 高
斯參考了歐拉､勒讓德的著作~﹐ 於 1801 年發表了二次互反律的完
整的證明~。 他把這個初等數論中至關重要的定理譽為“~算術中
的寶石~”~。 二次互反律後來引起了釵h數學家~﹐ 如 E.E.\, 庫默爾 (Kummer)~､
D.\, 希爾伯特 (Hilbert)~､ E.\, 阿廷 (Artin) 等人對代數數域內
高次互反律的研究~﹐出現了不少意義深刻的工作~。 1850 年~﹐ I.R.\, 沙法熱維奇
(Shafarevich) 建立了廣義互反律~。
歐拉還致力於丟番圖 (Diophantus) 分析的研究~。 費馬重新發現了求解方程
$x^2-Ay^2=1$ 的問題 (其中~﹐ $A$ 是整數但非平方數)~﹐ J.\, 沃利斯
(Wallis) 全部解出了這個問題~。 歐拉在 1732--1733 年的一篇論文中~﹐ 誤稱其為
佩爾 (Pell) 方程~﹐ 這個名稱也就這樣固定下來了~。 1759 年~﹐ 歐拉通
過把 $\sqrt A$ 表成一個連分式~﹐ 給出了一種解佩爾方程的方法~。 此後不久~﹐
J.L.\, 拉格朗日 (Lagrange) 開始對這個問題進行全面研究~。 對費馬關於“~不
定方程 $x^n+y^n=z^n(n>2)$ 沒有正整數解”的著名猜測 (此處 $x,\ y,\ z$
均為整數~﹐ $xyz\ne 0$)~﹐ 1753 年歐拉證明 $n=3$ 時~﹐ 它是正確的~。 歐
拉的證明建立在無窮遞降法的基礎上~﹐ 並利用了形如 $a+b\sqrt{-3}$ 的複數~。
他在《~代數學入門~》 (Vollst\"andige Anleitung Zur Algebra﹐1770~﹐ 德文版)
一書詳盡地敘述了這個證明~。 此書兩卷~﹐ 最先以俄文發表於聖彼得堡~﹐ 其
中~﹐ 第二卷有很大篇幅是關於丟番圖分析的研究~。
歐拉用算術方法和代數方法研究上述問題~﹐ 他還首先在數論中
運用分析方法~﹐ 開解析數論之先河~。 他利用調和級數
$$1+{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots$$
的發散性~﹐ 簡單而巧妙地證明了質數個數無窮的歐幾里得定理~。
1737 年~﹐ 歐拉推出了下列著名的恆等式~：
$$\sum_{n=1}^\infty{1\over n^s}=\prod\limits_p
\left(1-{1\over p^s}\right)^{-1}\hbox{。}$$
式中 $\prod\limits_p$ 表示對所有的質數求積。 等式左邊即
後來黎曼所稱的 $\zeta$ 函數 $\zeta(s)$~。 1749 年~﹐ 歐拉應
用發散級數求和法和歸納法~﹐ 發現了與 $\zeta(s),\ \zeta(1-s)$
和 $\Gamma(s)$ 有關的函數方程~﹐ 即~： 對於實的 $s$~﹐ 有
$$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s}\cos{\pi s\over 2}\Gamma(s)\zeta(s)\hbox{。}$$
黎曼後來重新發現並建立了這個函數方程~﹐ 他是第一個定義 $\zeta$
函數~﹐ 也是第一個定義自變量為複值的 $\zeta$ 函數的科學家~。十九世
紀和二十世紀~﹐ $\zeta$ 函數已成為解析數論最重要的工具之一~﹐ 尤其
在 L.\, 狄利克雷 (Dirichlet)~､切比雪夫~､黎曼~､ J.\, 阿達瑪 (Hadamard)
等人關於質數分佈的研究中更是如此~。
歐拉還研究了數學常數以及同超越數論有關的重要問題~。 J.H.\, 藍
伯特 (Lambert) 1768 年證明 $e$ 和 $\pi$ 是無理數時~﹐ 曾用
連分數表示 $e$~﹐ 但連
分式是歐拉首先採用並奠定理論基礎的~。 1873 年~﹐ C.\, 埃爾米特
(Hermite) 證明 $e$ 是超越數~。 1882 年~﹐ F.\, 林德曼 (Lindemann)
應用歐拉公式 $e^{i\pi}=-1$ (歐拉 1728
年發現的)~﹐ 證明了 $\pi$ 是超越數~﹐ 因此~﹐ 用直尺和圓規作出
一個正方形和已知面積相等是不可能的~﹐ 從而解決了古希臘遺
留下來的“化圓為方”的問題~。 歐拉常數
$$r=\lim_{n\to\infty}\left(1+{1\over 2}+{1\over 3}+\cdots+
{1\over n}-\ln n\right)$$
的超越性的猜測﹐ 則至今尚未解決。
\v 10pt
{\heiten 2.\h 10pt 代數}
\v 5pt
十七世紀﹐ 代數是人們興趣的一個重要中心~。 到了十八世紀~﹐ 它
變成從屬於分析~﹐ 人們很難把代數和分析互相區別開來~。 歐拉很
早就把對數定義為指數~﹐ 並於 1728 年在其一篇未發表的手稿中引
入 $e$ 作為自然對數的底~。 1732 年~﹐ 歐拉對 G.\, 卡爾達諾 (Cardano) 的三次方
程解法作出了第一個完整的討論~。 他還試圖找到用根式表示的
高於四次的方程之解的一般形式~﹐ 誠然這是徒勞的~。 1742 年~﹐
歐拉在給尼古拉 I •伯努利和哥德巴赫的信中~﹐ 第一次提出
了所有實係數的 $n$ 次多項式都可以分解為實一次或實二次因式的
定理~﹐ 即具有 $n$ 個形如 $a+bi$ 的根~。 這是和代數基本定理等價的重
要命題~﹐ 先後由達朗貝爾和歐拉證明~。 他們的證明思路不同~﹐
但都不夠完全~。十九世紀有了更精確的證明~。 前述的歐拉《~代
數學入門~》一書~﹐ 是十六世紀中期開始發展的代數學的一個系統
總結~。 此書出版後~﹐ 很快被譯成英文~､荷蘭文~､意大利文~､法
文等多種文字~﹐ 對於十九世紀和二十世紀代數學教科書的編寫產生極大影響~。
\v 10pt
{\heiten 3.\h 10pt 無窮級數}
\v 5pt
在十七世紀建立微積分的同時~﹐ 無窮級數也進入了數學的實踐~。
十八世紀是級數理論的形式發展時期~。 在歐拉的著作中~﹐ 無窮
級數起初主要用作解題的輔助手段~﹐ 後來成為他研究的一個科
目~﹐ 實際知識達到了很高水平~。 前面提到的對著名的 $\zeta$ 函數的
研究就是一個例子~。 其出發點是整數平方的倒數求和問題
$$\sum_{n=1}^\infty{1\over n^z}=\zeta (z),$$
伯努利兄弟､ J.\, 斯特靈 (Stirling) 和其他一些數學家都曾徒勞地探討過它~。
1735 年~﹐ 歐拉解決了一個普遍得多的問題~﹐ 證明了對於任意偶
數 $2K>0$~﹐
$$\xi(2K)=a_{2K^{\pi^{2K}}},$$
這裡 $a_{2K}$ 是有理數﹐ 它後來分別通過歐拉--馬克勞林求和公式的係
數與伯努利數來表示~。 歐拉還給出了當 $2K+1$ 是前面幾個小奇數時
$\sum\limits_{n=1}^\infty \diss 1{n^{2K+1}}$ 的和~﹐ 但對所有的
奇數 $2K+1$~﹐$\xi(2K+1)$ 的算術性質至今尚不清楚~。
歐拉大約在 1732 年發現了上述求和公式~﹐ 他於 1735 年給出了證明~。
C.\, 馬克勞林 (Maclaurin) 不謀而合地在幾年後又獨立地發現了它~﹐ 並且所
用的方法稍好些~﹐ 也更接近於今天所用的方法~。 這個公式是有
限差演算的最重要的公式之一~。 有限差演算方法是由 B.\, 泰勒 (Taylor)
和斯特靈奠基的~。 歐拉的《微分學原理》 (Introductio calculi
differentialis﹐1755) 是有限差演算的第
一部論著~﹐ 他第一個引進差分算子~。 藉助於這個求和公式~﹐
1735 年~﹐ 歐拉把前述的歐拉常數 $\gamma$ 的值計算到小數點後十六位
\cen {$\gamma=0.57721566\cdots$。}
歐拉在大量地應用冪級數時~﹐ 還引進了新的極其重要的傅里葉
三角級數類~。 1744 年他在給哥德巴赫的一封信中~﹐ 談到了用三角
級數表示代數函數的例子~：
$${\pi\over 2}-{x\over 2}=\sin x+{\sin 2x\over 2}+
{\sin 3x\over 3}+\cdots\hbox{。}$$
它發表在 1755 年的《微分學原理》中。 此後~﹐ 他又得到了其他的
展開式~。 1777 年~﹐ 為了把一個給定函數展成在 $(0,\ \pi)$ 區間上的餘弦級
數~﹐ 歐拉又推出了傅里葉係數公式~。 歐拉的論文遲至 1798 年才發
表~。 他採用的正是現行通用的逐項積分方法~。 J.B.J.\, 傅里葉 (Fourier) 對歐
拉的工作並不了解~﹐ 他於 1807 年得到相同的公式~。 歐拉也不知克
萊羅 1759 年的相應工作~。
歐拉還把函數展開式引入無窮乘積以及求初等分式的和~﹐ 這些
成果在後來的解析函數一般理論中佔有重要的地位~。 無窮級數~､
無窮乘積和連分式之間釵h相互變換的方法也是歐拉發現的~。
形式觀點在十八世紀無窮級數的工作中佔統治地位~。 級數被看成
是無窮的多項式~﹐ 並且就當作多項式來處理~﹐ 對其收斂和發散
的問題是不太認真對待的~。 歐拉多少意識到收斂性的重要~﹐ 他
也看到了關於發散級數的某些困難~﹐ 特別是用它們進行計算時
產生的困難~。 為了尋求收斂的一般理論~﹐ 歐拉確信且著手進行
建立發散級數轉變為收斂級數的法則這一艱苦的工作~。 為此~﹐
他對級數的和這一概念提出了新的更廣泛的定義~。 他還提出兩
種求和法~。 這些豐富的思想~﹐ 對十九世紀末､二十世紀初發散級數
理論中的兩個主題~﹐ 即漸近級數理論和可和性的概念產生了深遠影響~。
\v 10pt
{\heiten 4.\h 10pt 函數概念}
\v 5pt
\rightskip=6.5cm
十八世紀中葉﹐ 分析學領域有釵h新的發現~﹐ 其中不少是歐拉自己的
工作~。 它們系統地概括在歐拉的《無窮分析引論》 (圖 1)~､
《微分學原理》和《積分學原理》組成的分析學三部曲中~。 這
三部書是分析學發展的里程碑式的著作~。 它們至今饒有興
味~﹐ 尤其《無窮分析引論》的第一卷更是如此~。 專家們可以從
這些著作中追尋分析學釵h富有成果的方法的發展足跡~。
\noindent \h 18pt 《無窮分析引論》共兩卷﹐它是第一本溝通微積分與初等分析
的書~。 在這部書中~﹐ 歐拉第一次清晰地論述了數學分析是研究
函數的科學~﹐ 並對函數概
\rightskip=0cm
\noindent 念作了更加透徹的研究~。\h 10pt {\soneight 圖 1\h 5pt
《無窮分析引論》的扉頁﹐洛桑﹐1748 年}
\noindent 他一開頭~﹐
就把函數定義為由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解
析表達式~。 在這一點上~﹐ 他繼承了約翰•伯努利的思想~。 歐
拉寫道~﹐ 函數間的原則區別在於組成這些函數的變量與常量的
組合法不同~。 他在書中給出了現今還廣泛應用的函數的分類~。
歐拉還區分了顯函數與隱函數~﹐ 單值函數與多值函數~。 他按照
自己和所有同時代的人的經驗~﹐ 堅信所有的函數都能展成級數~。
歐拉認為函數的自變量不僅可以取實值~﹐ 也可以是虛值~﹐ 這一見解極其重要~。
在歐拉､達朗貝爾和丹尼爾•伯努利等釵h數學家捲入的關於弦
振動問題的研究中~﹐ 發生了關於函數概念的爭論~。 它促使歐拉
去推廣自己的函數概念~。 1755 年~﹐ 歐拉在《微分學原理》一書中
給函數下了一個新定義~： “如果某些量這樣地依賴於另一些量~：
當後者改變時它經受變化~﹐ 那麼稱前者為後者的函數~。 ”
不過~﹐ 在《無窮分析引論》中~﹐ 歐拉就已把函數當作對應值加以論述~。
\v 10pt
{\heiten 5.\h 10pt 初等函數}
\v 5pt
《無窮分析引論》第一卷共 18 章~﹐ 主要研究初等函數論~。 其中~﹐
第八章研究圓函數~﹐ 第一次闡述了三角函數的解析理論~﹐ 並
且給出了棣莫弗 (de Moivre) 公式
$$e^{\pm xi}=\cos x\pm i\sin x$$
的一個推導。 雖然 R.\, 科茨 (Cotes) 在 1714 年發表了這個公式且與歐拉
給出的略有不同~﹐ 但只有歐拉才使該公式得到了廣泛的應用~。
歐拉在《無窮分析引論~》中研究了指數函數和對數函數~﹐ 他給出著名的表達式
$$e^z=\lim_{i\to\infty}\left(1+{z\over i}\right)^i$$
(這裡 $i$ 表示趨向於無窮大的數~； 1777 年後~﹐ 歐拉用 $i$
表示 $\sqrt{-1}$)~﹐
但僅考慮了正自變量的對數函數~。 1751 年~﹐ 歐拉發表了完備的
複數理論~。 他斷言~： 對正實數而言~﹐ 對數只有一個實值~﹐ 其
餘都是虛值~；但對於負實數或虛數而言~﹐ 對數的一切值都是虛
的~。 歐拉對這個問題的成斥捄泠﹐ 實際上結束了此前 1747--1748 年在萊
布尼茨和約翰•伯努利之間~﹐ 達朗貝爾和歐拉本人之間通過信
件進行的關於負數的對數的爭論~。 但他的工作當時並未被人們接受~。
\v 10pt
{\heiten 6.\h 10pt 單複變函數}
\v 5pt
通過對初等函數的研究~﹐ 達朗貝爾和歐拉在 1747--1751 年間先後得到了
(用現代術語表達的) 複數域關於代數運算和超越運算封閉的結
論~。 他們兩人還在解析函數的一般理論方面取得了最初的進展~。
1752 年~﹐ 達朗貝爾在研究流體力學時發現了把解析函數
$u(x, y)+iv(x, y)$ 的實部
和虛部連結在一起的方程~。 1757 年~﹐ 歐拉在提交聖彼得堡科學院
的一篇論文中推出了同樣的方程
$${\partial u\over\partial x}={\partial v\over\partial y},\quad
{\partial u\over\partial y}=-{\partial v\over\partial x},$$
其要點是藉助於虛代換 $z=x+iy$~﹐ 利用實函數去計算複函數的積分, \
展示了計算積分 $\int f(z)dz$ 的新方法~。 因此~﹐ 歐拉發現了
$$\int_0^\infty{\sin x\over x}dx={\pi\over 2}\hbox{。}$$
歐拉還藉助於保角映射把複變解析函數用於理論製圖學等方面的
研究~。 他在 1768 年的一篇論文中~﹐ 利用複變函數~﹐ 設計了一種
從一個平面到另一個平面的保角映射的表示方法~。 1775 年~﹐ 他又
證明球面不可能全等地映入平面~。 這裡~﹐ 他再一次用了複變函
數而且討論了相當一般的保角表示~。
歐拉的這些思想﹐十九世紀在柯西､ 黎曼闡發解析函數的一般理
論時~﹐ 都獲得了深入的發展~。 譬如~﹐ 上述達朗貝爾和歐拉的
方程就是以柯西和黎曼的名字命名的~。
\v 10pt
{\heiten 7.\h 10pt 微積分學}
\v 5pt
歐拉的《微分學原理》和《積分學原理》二書對當時的微積分方
法作了最詳盡､最有系統的解說~﹐ 他以其眾多的發現豐富了無
窮小分析的這兩個分支~。
在《微分學原理》中﹐ 歐拉詳盡地研究了變量替換下的微分公
式~。 他在 1734 年的一篇論文中證明~﹐ 若 $z=f(x,\ y)$~﹐ 則
$${\partial^2 z\over\partial x\partial y}=
{\partial^2 z\over\partial y\partial x}$$
導出了函數 $f(x,\ y)$ 恰當微分的必要條件~。 1736 年~﹐ 他又揭示了關於齊
次函數的定理~﹐ 即若 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的 $n$ 次齊次函數~﹐ 則
$$x{\partial z\over\partial x}+y{\partial z\over\partial y}=nz\hbox{。}$$
他還就函數 $f(x)$ 和 $f(x,\ y)$ 的極值問題~﹐ 得到釵h重要的結果~。
歐拉在《積分學原理》第一卷中﹐ 用相當現代的方式敘述了不
定積分的方法~。 他創造了“~歐拉代換~”等釵h新方法~。 他計算
了釵h困難的定積分~﹐ 進一步奠定了特殊函數論的基礎~。 例如~﹐
1729 年歐拉就研究了序列 $1!,\ 2!,\ \cdots,\ n!,\ \cdots$
的插值法~。 他引入了 $B$ 函數和 $\Gamma$ 函
數~﹐ 繼而還發現了 $B$ 函數和 $\Gamma$ 函數的釵h性質~﹐ 如~：
$$B(m, n)={\Gamma(m)\Gamma(n)\over\Gamma(m+n)}\hbox{。}$$
在橢圓積分理論上﹐ 歐拉的主要貢獻是發現了加法定理~。 1770 年
他對二重定積分有了清楚的概念~﹐ 還給出了用累次積分計算這種積分的程序~。
《微分學原理》和《積分學原理》是歐拉那個時代的標準課本~。
他的形式化方法使微積分從幾何中解放出來~﹐ 從而使它建立在
算術和代數的基礎上~。 這至少為後來基於實數係數的微積分的根本論證開闢了道路~。
\v 10pt
{\heiten 8.\h 10pt 微分方程}
\v 5pt
《積分學原理》還展示了歐拉在常微分方程和偏微分方程理論方
面的眾多發現~。 他和其他數學家在解決力學､物理問題的過
程中創立了微分方程這門學科~。
在常微分方程方面﹐ 歐拉在 1743 年發表的論文中~﹐ 用代換 $y=e^{kx}$ 給出
了任意階常係數線性齊次方程的古典解法~﹐ 最早引入了“~通解~”
和“~特解~”的名詞~。 1753 年~﹐ 他又發表了常係數非齊次線性方程
的解法~﹐ 其方法是將方程和階數逐次降低~。 歐拉早在 1740 年左右
就知道並且在潮汐和行星軌跡攝動的著作中應用常數變易法~。
他在 1734--1735 年領會了積分因子的概念~﹐ 提供一個方法~﹐
並在 1768--1770 年的工
作中廣泛地發展了積分因子法~﹐ 把它應用於釵h一階微分方程
類型~﹐ 還推廣到高階方程~。 歐拉對里卡蒂 (Riccati) 方程的性質多有研
究~。 1768 年~﹐ 他給出了一個從特殊積分鑒別奇解的判別法~。 這
一年~﹐ 歐拉在其有關月球運行理論的著作中~﹐ 創立了廣泛用於
求帶有初值條件 $x=x_0,\ y=y_0$ 的方程
$${dy\over dx}=f(x, y)$$
的近似解的方法~﹐ 次年又把它推廣到二階方程~。 這個現稱“~歐
拉折線法~”的方法~﹐ 為十九世紀柯西關於解的存在性的嚴格證明
和數值計算提供了重要途徑~。
歐拉在十八世紀三十年代就開始了對偏微分方程的研究~。 他在這方
面的最重要的工作~﹐ 是關於二階線性方程的~。 數學物理中的許r
多問題都可以歸結為二階線性方程~。 弦振動問題是一個著名的
例子~。 1747 年~﹐ 達朗貝爾首次建立了弦振動方程
$${\partial^2 y(t, x)\over\partial t^2}=
a^2{\partial^2 y(t, x)\over\partial x^2}$$
得到形如兩個任意函數之和的解~：
$$y(t, x)={1\over 2}\phi(at+x)+{1\over 2}\phi(at-x)\hbox{。}$$
歐拉隨即對達朗貝爾的方法作了進一步研究~。 他在允酗偵簳�
數可以作為初始曲線~﹐ 因而也可以作為偏分方程的解的問題上~﹐
有全然不同的想法~。 於是~﹐ 這兩位數學家~﹐ 還有丹尼爾•
伯努利~､拉格朗日~､拉普拉斯和其他一些數學家~﹐ 都捲進了一
場曠日持久的激烈論戰~﹐ 延續了半個多世紀~﹐ 直到傅里葉的《~熱
的分析理論》 (The\'orie analytique de la chaleur﹐1822)
發表為止~。 其間~﹐ 歐拉把特徵線法發展更加
完善了~。 歐拉還在流體動力學和鼓膜振動~､管內空氣運動等問
題中接觸到數學物理方程~。 例如~﹐ 位勢方程
$${\partial^2 V\over\partial x^2}+{\partial^2 V\over\partial y^2}
+{\partial^2 V\over\partial z^2}=0$$
最早就出現在 1752 年關於流體運動的論文中。 1766 年~﹐ 歐拉從圓膜
振動問題得到後來所稱的巴塞耳 (Bassel) 方程~﹐並藉助於巴塞耳函數
$J_n(x)$ 來求解~。
\v 10pt
{\heiten 9.\h 10pt 變分法}
\v 5pt
\rightskip=6.6cm
歐拉從 1728 年解決約翰•伯努利提議的測地線問題開始從事變分法
的研究~。 1734 年~﹐ 他推廣了最速降線問題~。 然後~﹐ 著手尋找關
於這種問題的更一般的方法~。 1744 年~﹐ 歐拉的《尋求具有某種極
大或極小性質的曲線的方法》 (Methodus inveniendi lineas curvas
maximi muinim- ive proprictate gaudentes) (圖 2) 一書出版~。 這是變分
學史上的里程碑~﹐ 它標誌著變分法作為一個新的數學分支的誕
生~。 該書廣泛使用了幾何論證~。 書中
\rightskip=0cm
\noindent 系統地總結了歐拉在十八世\h 10pt {\soneight 圖 2\h 5pt
《尋求具有某種極大或極小性質的曲線}
\noindent 紀三十年代和四十年代初的一\h 10pt {\soneight 的方法》
的扉頁﹐洛桑---日內瓦﹐1744 年}
\noindent 些成果~﹐ 其中~﹐ 包括歐拉 1736 年成永狻卂疑鰫顙狤n分
$$J=\int_{x_1}^{x_2}f(x, y, y')dx$$
取極大或極小值的函數 $y(x)$ 必須滿足的常微分方程
$$f_y-{d\over dx}(f_{y'})=0,$$
以及大量應用的例子~。 這個以歐拉名字命名的方程~﹐ 迄今仍是
變分法的基本微分方程~。
十八世紀五十年代中期~﹐ 拉格朗日循著歐拉的思路和結果~﹐ 從純分
析方法的角度~﹐ 創造了應用於變分演算的新算法和新符號~﹐ 得
到了更完善的結果~。 歐拉隨後放棄了自己以前的說明~﹐ 並以
對拉格朗日的方法作了詳細､清晰的解釋~。 歐拉認為拉格朗日
的方法是一種新的計算方法~﹐ 並在自己的論文中正式將它命名
為“~變分法~” (the calculus of variation)~。 1770 年~﹐ 歐
拉在《~積分學原理~》第三卷中把變
分法應用於具有常數限的二重積分的極值問題~。 其後不久~﹐ 歐
拉又提出了變分演算的另一種解釋方法~。 他早期變分法研究中
使用的直接方法~﹐ 一個半世紀發後~﹐ 也在尋找變分問題及相應
的微分方程的精確解或近似解中獲得獨立的價值~。
\v 10pt
{\heiten 10.\h 10pt 幾何學}
\v 5pt
十八世紀﹐ 坐標幾何得到廣泛的探討~。 歐拉在《無窮分析引論~》
第二卷中引入了曲線的參數表示~。 他從二次曲線的一般方程著
手~﹐ 超越同時代的人~﹐ 對二次曲線論的代數發展做出了重要貢
獻~。 他用類比法研究三次曲線~﹐ 還討論了高次平面曲線~。 但
是~﹐ 歐拉的主要貢獻是第一次在相應的變換裡應用歐拉角~﹐ 徹
底地研究了二次曲面的一般方程~。
在微分幾何方面~﹐ 歐拉於 1736 年首先引進了平面曲線的內在坐標
概念~﹐ 即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標~﹐ 從而開
始了曲線的內在幾何的研究~。 他將曲率描述為曲線的切線方向
和一固定方向的交角相對於弧長的變化率~。 歐拉關於曲面測地
線的研究是眾所周知的~。 然而~﹐ 更重要的是他在曲面論方面的
開拓性研究~。 1760 年~﹐ 歐拉在《關於曲面上曲線的研究》
(Recherches sur la courbure des surfaces) 中建
立了曲面的理論~。 這本著作是歐拉對微分幾何最重要的貢獻~﹐
是微分幾何發展史上的里程碑~。 G.\, 蒙日 (Monge) 和其他幾何學家後來
的研究就是從曲面論開始的~。十八世紀六十年代和七十年代~﹐ 歐拉繼
續研究並得到了用主曲率表示任意法截面上截線曲率的著名公式
以及曲面可展性的､分析的必要充分條件~。 1775 年~﹐ 他還成它a
重新闡述了空間曲線的一般理論~。
歐拉對拓撲學的研究也具有第一流的水平~。 1735 年~﹐ 歐拉用簡化
(或理想化) 的表示法解決了著名的哥尼斯堡七橋遊戲問題 (如圖
\begin{figure}[h]
\v 5cm
\cen {\soneight 圖 3a\h 8pt 哥尼斯堡七橋遊戲問題\h 20pt 圖 3b\h 8pt
哥尼斯堡七橋遊戲問題抽象簡化圖}
\end{figure}
\rightskip=5.5cm
\noindent 3~﹐ 有七座橋~﹐ 問是否可一次走遍~﹐ 不陪娃④]不鹵罊|~。)
他得到具有拓撲意義的河--橋圖的判斷法則~﹐ 即今網絡論中
的歐拉定理~。 1750 年~﹐ 歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面
體的一些性質~。 其中~﹐ 有一條是~： 如果用 $V,\ E$ 和 $F$ 分別表示閉
的凸多體的頂點數､稜數和面數~﹐ 則有 $V-E+F=2$~。 次年他給出了這
\rightskip=0cm
\noindent 條性質的一個證明~。 儘管 100 年\h 30pt {\soneight 圖 4\h 10pt
歐拉示性數是整體不變}
\noindent 後人們發現笛卡兒早就知道這一\h 65pt {\soneight 量的一個源泉}
\noindent 性質~﹐ 但是~﹐ 第一個認識 $V-E+F$ 這個“~交錯
和~”的重要意義的人似乎
是歐拉~。 他之所以對這一關係感興趣~﹐ 是要用它來作多面體的
分類~。 歐拉示性數 $V-E+F$ 以及由 H.\, 龐加萊 (Poicar\'e)
提出的在多維複形中的推廣是現代拓撲學的主要不變量之一~。 陳省身言簡
意賅地說過~： “~歐拉示性數是大量幾何課題的源泉和出發點~。”他用圖形
(圖 4) 表示了這各種關係~。
\vskip 14pt
\centerline{\sonmid 力\hskip 45pt學}
\vskip 10pt
\rightskip=6.8cm
\noindent \h 18pt 歐拉在 1736 年的《力學》導言中~﹐ 概述了對這門科學各個分支的
巨大研究計劃~。 與其前輩採用綜合法､幾何法來研究力學不同~﹐
歐拉第一個意識到把分析方法引入力學的重要性~。 歐拉系統
而成它a將分析學用於力學的全面研究~。 他的《力學或運動科
學的分析解說》 (圖 5) 的書名就清楚地表達了他的這一思想~。
歐拉在力學的各個領域都有突出貢獻﹐ 他是剛體力學和流體力
學的奠基者~﹐ 彈性系統穩定性理論的創始人~。
\rightskip=0cm
\cen {\soneight \h 4cm 圖 5\h 10pt 《力學或運動科學的分析解說》的扉}
\cen {\soneight \h 4cm 頁﹐聖彼得堡﹐1736 年}
{\heiten 1.\h 10pt 一般力學}
\v 5pt
《力學或運動科學的分析解說》研究質點的運動學和動力學~﹐
是用分析的方法來發展牛頓質點動力學的第一本教科書~。 此書
共分兩卷~： 第一卷研究質點在真空中和有阻力的介質中的自由
運動~； 第二卷研究質點的強迫運動~。 歐拉的這本著作與以往的
著作迥然不同~﹐ 他試圖通過定義和論證的結合~﹐ 來證明力學是
一門能一步一步推演出的釵h命題的“合理的科學”~。 他所提
供的基本概念和定律接近我們今天所知道的力學體系~。 他用解
析形式給出了運動方程~﹐ 並確認它們構成了整個力學的基礎~。
因此~﹐ 具有重要的歷史意義~。
1765 年﹐ 歐拉的著作《剛體運動理論~》 (Theoria motus corporum
solidorum) 出版~。 此書與上述《~力
學~》相互關聯~。 歐拉得到了剛體運動學和剛體動力學的最基本
的結果~﹐ 其中包括~： 剛體定點運動可用三個角度~﹐ 即歐拉角
的變化來描述~； 剛體定點轉動時角速度變化和外力矩的關係~；
定點剛體在不受外力矩時的運動規律~﹐ 以及自由剛體的運動微
分方程等等~。 歐拉先用橢圓積分解決了剛體在重力下繞固定點轉
動的問題的一種可積情形~﹐ 即歐拉情形~。 此後一個多世紀~﹐
拉格朗日於 1788 年~､C.B.\, 柯瓦列夫斯卡婭 ({\cc\ce Ковалев--
ская})
於 1888 年才相繼完成全部可
積情況的工作~﹐ 徹底解決了經典力學中的這一著名難題~。
\v 10pt
{\heiten 2.\h 10pt 流體力學}
\v 5pt
歐拉根據早期積累的經驗而寫成的兩卷集《航海學》 (Seientia
navalis)~﹐ 1749 年
在聖彼得堡出版~。 其中~﹐ 第一卷論述浮體平衡的一般理論~﹐
第二卷將流體力學用於船舶~。 該書對浮體的穩定和浮體在平衡
位置附近的輕微簞夆暋D作了獨創性的闡述~。 1752 年至 1755 年~﹐
歐拉相繼寫了“流體運動原理” (Prinapia motus fluidorrum﹐
1761) 和另外三篇詳細闡述流體力學
解析理論的權威論文~﹐ 即“~流體平衡的一般原理” (Principes
g\'en\'eraux de l'\'etat d'\'equilibre des fluides)~､ “~流體
運動的一般原理~” (du mouvement des fluides)
和“~流體運動理論續篇~” (Continuation des recherches sur
la th\'eorie du mouvemont des fluides)~。 這三篇論文
於 1757 年同時發表~。 歐拉創造性地用偏微分方程解決數學物理問
題~。 他在這些論著中給出了流體運動的歐拉描述法~﹐ 提出了理
想流體模型~﹐ 建立了流體運動的基本方程~﹐ 即連續介質流體運
動的歐拉方程~﹐ 奠定了流體動力學的基礎~。 此外~﹐ 他還仔細
地研究了管內液體和氣體的運動~﹐ 管內空氣的振動和聲音的傳
播等釵h具體問題~﹐ 以及水力技術問題~。
除了在一般力學､流體力學方面的上述工作外~﹐ 歐拉在《~尋求
具有某種極大或極小性質的曲線的方法》一書的附錄一中~﹐ 應
丹尼爾•伯努利的請求~﹐ 將變分演算應用於研究彈性理論的某
些問題~。 這些問題~﹐ 歐拉從 1727 年就開始研究~。 這個附錄是第
一部應用數學來研究彈性理論的著作~。 歐拉率先從理論上研究
了細壓桿的彈性穩定問題~。 他提出了柱的穩定概念~﹐ 以及一端
固定~､另一端自由的柱的臨界壓力公式~。 在同書的附錄二中~﹐
歐拉還與莫佩蒂幾乎同時獨立地得出了力學中的最小作用原理~。
歐拉為力學和物理學的變分原理的釵h研究奠定了數學基礎~。
這種變分原理至今仍在科研中應用~。
\vskip 14pt
\centerline{\sonmid 天\hskip 15pt文\hskip 15pt學}
\vskip 10pt
對自然界的深刻研究是數學最富饒的源泉~。十八世紀的數學家對
天體運行規律的探索極為重視~。 歐拉對天文學作過大量的研究~﹐
他最出色的著作都和天體力學有關~。 這些論著特別吸引當時
的科學家~﹐ 並多次榮獲英､法等國的獎金~。
十七世紀﹐牛頓提出著名的萬有引力定律﹐ 從力學原理上解釋了
月球運動的規律~。 此後~﹐ “~三體問題~”~﹐ 特別是太陽､ 地球
和月亮~﹐ 成了十八世紀科學家十分關注的重要課題~。 三體問題的
攝動理論是先應用於月球的運動~。 歐拉~､克萊羅等人曾試圖求
得一般三體問題的精確解~﹐ 終因困難至甚轉而採用近似方法~。
1745 年~﹐ 克萊羅和達朗貝爾用萬有引力定律算得月球饒地球運轉
的近地點的週期為 18 年~﹐ 而實際觀察則表明它應該是 9 年~。 這
曾使得人們從總體上對牛頓力學體系的正確性產生懷疑~﹐ 甚至
歐拉和其他一些科學家也認為牛頓萬有引力定律需要作某些修正~。
1749 年~﹐ 克萊羅確認~： 理論值和觀察值之間的誤差~﹐ 是由於求
解相應微分方程局限於第一次逼近所致~。 當他作第二次逼近演
算後~﹐ 結果是令人滿意的~。 為此~﹐ 歐拉向聖彼得堡科學院舉
薦克萊羅的論文~﹐ 使之獲得該院 1752 年獎金~。 不過~﹐ 歐拉仍不
滿意並繼續研究~。 1753 年~﹐ 他的《~月球運動理論~》 (Theoria
motus lunae exhibens omnes ejus inaequalitales) 一書出版~。
在這部著作中~﹐ 歐拉闡述了求三體問題近似解的新穎方法~﹐
亦稱“~歐拉第一月球理論~”~。 他得到的數值結果也與牛頓萬有
引力理論一致~。
歐拉的第一月球理論對當時的天文學和航海事業產生了很重要的
影響~。 1755 年~﹐ 格丁根大學的天文學家 T.\, 邁爾 (Mayer) 根據歐拉的理論
制成了一張月球運行表~。 它對艦船導航極有價值~。 經過十年
的航海實踐~﹐ 1765 年英國國會終於將半個世紀前懸賞的獎金授予
邁爾的遺繼。 同時~﹐ 也獎給歐拉三百英鎊獎金~﹐ 以表彰他為
此所作的開創性的理論工作~。
1772 年~﹐ 歐拉的另一本天文學著作《月球運動理論和計算方法》
在聖彼得堡出版~。 他在此書中詳細闡述了“~歐拉第二月球理論~”~。
由於種種原因~﹐ 直到十九世紀末~﹐ 當 G.W.\, 希爾 (Hill) 發展了歐拉月
球理論中關於以直角坐標為基本變量和旋轉坐標系的概念~﹐ 建
立了一種新的月球運動理論後~﹐ 人們才可能對歐拉的這種新方
法的價值作出正確的評價~。
歐拉一生還寫了釵h關於彗星和行星軌跡計算的論著~。 1748 年~﹐
他在一篇論文中最先用參數變值法研究木星和土星運動的攝動~﹐
獲得了巴黎科學院的獎金~。 1769--1771 年~﹐ 歐拉已雙目失明~﹐ 他以
堅強的毅力和永不懈怠的進取精神~﹐ 繼續研究木星和土星~､ 地
球和其他行星的相互引力引起的攝動~。“~春蠶到死絲方盡~”~﹐
歐拉對天文學的研究一直延伸到其生命最後的一瞬~。
\vskip 14pt
\centerline{\sonmid 物\hskip 15pt理\hskip 15pt學}
\vskip 10pt
十八世紀物理學的進展並不像十七世紀前八十年那樣不尋常~﹐ 它很少
產生偉大的實驗物理學家~。 歐拉作為一位物理學家~﹐ 與丹尼爾•
伯努利也不一樣~﹐ 其主要貢獻是從數學的角度詳盡地闡述前
面已討論過的那些類問題~。 歐拉所涉及的各種物理問題~﹐ 當時
多半與數學分析無緣~。 他渴望創造一種與物理學界取得一致的
數學理論~。 他廣泛地將數學應用到整個物理領域~﹐ 並在力學~､
聲學~､光學和電磁學等方面做出了釵h重要貢獻~。
1644 年﹐笛卡兒曾經假定星際空間充滿著物質~﹐ 並且它們在很大
的漩渦中運動~。 這在歐洲大陸人們的思想中~﹐ 直到近十八世紀中
葉時還保持著它的地位~。 1724 年~﹐ 歐拉被授 予哲學碩士學位~﹐
他發表的演講就是對牛頓和笛卡兒的哲學思想進行比較~。 歐
拉不是笛卡兒自然哲學體系的代表人物~﹐ 但是~﹐ 他更接近於這
個自然哲學體系~。 歐拉否認空虛空間中的運動和遠距離作用的
可能性~﹐ 他認為宇宙中充滿了以太~﹐ 並且用以太的力學性質來
解釋觀察到的現象的多樣性是可能的~。 他還將單磁流的概念引入電磁學~。
歐拉在廣為流傳的《關於物理學和哲學問題給德韶公主的信~》中~﹐
提出了一切物理現象都是以太與物質相互作用的結果的思想~﹐
企圖建立物理世界的統一圖形~。 這一思想對十八世紀､十九世紀
物理學的發展是重要的~。 歐拉關於電的本質的觀點是 M.\, 法拉第
(Faraday) 和 J.C.\, 麥克斯韋 (Maxwell) 電磁場理論的雛形~。
他的以太理論影響了黎曼~。
歐拉在物理學方面建立的人造模型和提出的一些假設~﹐ 壽命都
不長~。 但是~﹐ 他的光學著作在十八世紀的物理學中起了重要作用~。
他否定權威的光粒子論~﹐ 他是這個世紀提倡波動說的唯一的傑
出科學家~。 他認為光的起因是以太特有的振盪的結果~。 歐拉 1746
年發表的《光和色彩的新理論~》 (Nova theoria lucis et colorum)
解釋了一些光學現象~。 他同
倫敦的光學儀器商多倫在色散理論上發生過爭論~﹐ 雙方都
有正誤之處~。 1758 年~﹐ 多倫創造消色差望遠鏡送交英國皇家學會~﹐
轟動了整個歐洲~。 這是光學技術上的一個轉折點~。 而歐拉的
三大卷本《屈光學~》 (Dioptrica﹐1771) 則奠定了光學體系的
計算基礎~。 此書第
一卷論述光學原理~﹐ 第二~､三卷分別論述望遠鏡和顯微鏡的構
造~﹐ 只是書中的數學模型超出了實驗光學家的理解力~。 值得一
提的是~﹐ 歐拉 1739年的音樂新理論也有超出音樂家理解力的地方~。
人們說~﹐ 它對數學家“~太音樂~”了~﹐ 而對音樂家“~太數學~”
了~。 有人認為~﹐ 歐拉的某些思想在現代音樂家的著作中得到了發展~。
\v 12pt
歐拉給後人留下了極其豐富的科學遺產和為科學獻身的精神~。
歷史學家把歐拉同阿基米德 (Archimedes)､牛頓~､高斯並列為數學史上的“~四
傑~”~。 數學家 J.R.\, 紐曼 (Newman) 1956 年稱歐拉是“~數學
家之英雄~”~。 現在~﹐英雄歐拉安詳地躺在俄羅斯的土地上~。 1983 年~﹐
在歐拉逝世 200週年之際~﹐ 各國學者在列寧格勒 (即聖彼得堡)~､西柏林~､ 東
柏林和莫斯科先後隆重集會紀念其豐弘黍Z~。 而在歐拉的故鄉
------ 巴塞爾~﹐ 則出版了各國著名科學家和科學史家研究~､
紀念他的巨型文集《~列昂哈德•歐拉 ------ 生活事業文獻集~》
(Leonhard Euler﹐1707--1783﹐Bertr\"age zu Leben und Werk~﹐
1983)~。 法國科學家 L.\, 巴斯德 (Pasteur) 說得好~：“~科學沒有國籍~。 但是
科學家有祖國~﹐ 他對於祖國的光榮應當盡心竭力~﹐ 死而後已~。
熱烈的愛國心會使他有勇氣和毅力承擔艱難而偉大的工作~；而
這工作~﹐ 正是對人類有益的~。 ” (在丹麥哥本哈根萬國醫學會
上的講話~﹐ 1884) 以此讚美歐拉~﹐他是當之無楫漢。
\vskip 15pt
\centerline{\heimid 文\hskip 30pt獻}
\vskip 12pt
\noindent{\heiten 原始文獻}
\v 5pt
\sonnine
\baselineskip=14pt
歐拉撰寫和出版的論著之多﹐ 歷史上堪列數學家之首~。他一生中共出版了 560 部 (篇)
著作和論文~。 歐拉曾與實際掌管彼得堡科學院事務的部監 V.G.\, 奧爾洛夫
(Orlov) 伯爵談過他死後要給該院院刊留下足夠刊登二十年的論文~。 實際上﹐
他留下的論著直到 1862 年才出版完~。N.\, 富斯出版了 200 種~﹐ 然後﹐ 由
В.Я. 布尼亞柯夫斯基 ({\cc Буняковский})~､ П.Л. 切比
雪夫和 П.Н. 富斯 ({\cc Фусс}) 繼續此項工作~。其餘的論著和信件~﹐
更遲才陸續發現~。
1907 年~﹐ 瑞士自然科學協會倡議並決定出版現代版的歐
拉著作全集~。G.\, 德奈斯特羅姆 (d' Enestr\"om) 從分散發表在不同著作和
大量雜誌或科學院叢書中的歐拉的文章中~﹐整理出他的著作全集的初步清單~﹐
發表在文獻 [25] 中~。這篇文獻表明有 856 種出版物是歐拉親自撰寫的~﹐另
外 31 種是在他的授意下寫成､以其長子約翰•阿爾勃
蘭克的名義發表的~。從 1726 年起直至去世~﹐ 歐拉大約和三百名學者通信~﹐
寫下了大量信件~﹐ 但只發表了其中的一部分~。文獻 [36] 內有歐拉所寫信件的
概要和索引~。
\begin{list}{}{\plist}
\item[\hbox{$[1]$}] Leonhardi Euleri Opera omnia﹐
Berlin--G\"ottingen--Leipzig--Heidelberg﹐
1911--\h 10pt ~。此全集均用原文出版﹐ 每一卷都經現代有關學科的專家校訂過~﹐
釵h引言包括了十七､十八世紀科學的有關分支的豐富史料~。全集現仍在
編輯出版過程中~。1967 年以前﹐ 全集共分三個系列﹐ 含 72 卷 (74 部
分~)~。第一系列 (數學)﹐ 共分 29 卷 (分為 30 部分)﹐ 已於 1956 年
完成~；第二系列 (力學和天文學)﹐ 共 31 卷 (分為 32 部分~)~﹐ 尚有
5 卷待出版~；第三系列 (物理學~､雜錄和正式信件)~﹐ 共 12
卷~﹐ 僅剩 1 卷需編輯~。特別應該指出的是~：《~歐拉全集~》出版之初是
計劃用第三系列的三個卷來編輯~､出版歐拉的手稿和書信的~。可是後
來感到這種作法過分拘謹~﹐ 於是 1967 年決定在出版過程中增加一個第 IV
系列並分為 A~､B 兩個分系列~：A 分系列 (書信往來)
預計出 7 卷~﹐ B 分系列 (手稿) 預計出 4 至 6 卷~。A 分系列的編輯~､
出版情況見文獻 [39]~。
\item[\hbox{$[2]$}] L. Euler﹐ Constructio linearum isochronarum in medio
quocunque resistente﹐ Acta eruditorum﹐ 1726 [II﹐ 6﹐ P. 1]
(即《歐拉全集》第二系列第 6 卷第 1 頁﹐ 下仿此)~。
\item[\hbox{$[3]$}] L. Euler﹐ Dissertatio physica de sono﹐ 1727 [III﹐1﹐
p.181]~。
\item[\hbox{$[4]$}] L. Euler﹐ Mechanica sive motus scientia analytice
exposita﹐ St. Petersburg﹐ 1736 [II﹐ 1--2]~。
\item[\hbox{$[5]$}] L. Euler﹐ Einleitung zur Rechen--Kunst zum Gebrauch
des Gymnasii bey der Kayserlichen Academie der Wissenschafften in
St. Petersburg~﹐ St. Petersburg﹐ 1738--1740 [III﹐ 2﹐ pp. 1--303]~。
\item[\hbox{$[6]$}] L. Euler﹐ Methodus inveniendi lineas curvas maximi
minimive proprietate gaudentes﹐ Lausanne--Geneva﹐ 1744 [I﹐ 24]~。
\item[\hbox{$[7]$}] L. Euler﹐ Theorie motuum planetarum et cometerum﹐
Berlin﹐ 1744 [II﹐ 28﹐ pp. 105--251]~。
\item[\hbox{$[8]$}] L. Euler﹐ Neue Grunds\"atze der Artillerie aus dem
Englischen des Herrn Benjamin Robins \"Ubersetzt und mit vielen
Anmerkungen Versehen﹐ Berlin~﹐ 1745 [II﹐ 14]~。
\item[\hbox{$[9]$}] L. Euler﹐ Nova theoria lucis et colorum﹐ 1746
[III﹐ 5﹐ pp. 1--45]~。
\item[\hbox{$[10]$}] L. Euler﹐ Introductio in analysin infinitorum﹐
2 vols﹐ Lausanne﹐ 1748 [I﹐ 8--9]~。
\item[\hbox{$[11]$}] L. Euler﹐ Scientia navalis﹐ 2vols﹐ St. Petersburg﹐
1749 [II﹐ 18--19]~。
\item[\hbox{$[12]$}] L. Euler﹐
Theoria motus lunae﹐ Berlin﹐ 1753 [II﹐ 23﹐ pp.
64--336]~。
\item[\hbox{$[13]$}] L. Euler﹐ Institutiones calculi differentialis cum
eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum﹐ Berlin﹐ 1755
[I﹐ 10]~。
\item[\hbox{$[14]$}] L. Euler﹐ Principes g\'en\'eraux de I'l\'etat
d'equilibre﹐ Principes g\'en\'er- aux du mouvement des fluides﹐
Continuation des recherches sur la
th\'eorie du mouvement de fluides﹐ 1757~；Principia motus fluidorum~﹐
1761 [II﹐ 12﹐ pp. 2--132~； pp. 133--168]~。
\item[\hbox{$[15]$}] L. Euler﹐ Theoria motus corporum solidorum Seu rigidorum
ex primis nostrae cogritionnis stabilita…﹐ Rostock--Greifsuald~﹐
1765 [II﹐ 3--4]~。
\item[\hbox{$[16]$}] L. Euler﹐ Institutiones calculi integralis﹐ 3vols﹐
St. Petersburg﹐1768﹐ 1769﹐ 1770 [I﹐ 11--13]~。
\item[\hbox{$[17]$}] L. Euler﹐ Lettres \`a une princesse d'Allemagne sur
divers sujets de physique et de philosophie﹐ 3vols﹐ St. Petersburg﹐
1768﹐ 1769﹐ 1772 [III﹐ 11--12]~。這部三卷本著作包括 234 封信~。
\item[\hbox{$[18]$}] L. Euler﹐ Dioptrica﹐ 3vols﹐ St. Petersburg﹐ 1769﹐
1770﹐ 1771 [III﹐ 3--4]~。
\item[\hbox{$[19]$}] L. Euler﹐ Vollsl\"andige Anleitung zur Algebra﹐ St.
Petersburg﹐1770 [I﹐ 1]~。
\item[\hbox{$[20]$}] L. Euler﹐ Theoria motuum lunae﹐ nova methodo
pertractat﹐ St. Petersburg﹐ 1772 [II﹐ 22]~。
\item[\hbox{$[21]$}] L. Euler﹐Scientia navalis------Th\'eorie complette de la
construction et de la manoeuvre des vaisseaux﹐ St. Petersburg﹐
1773 [II﹐ 21]~。
\end{list}
\noindent{\heiten 研究文獻}
\v 5pt
\begin{list}{}{\plist}
\item[\hbox{$[22]$}] N. Fuss﹐ Eloge de Monsieux Leonhard Euler﹐ St.
Petersburg﹐ 1783~。 德文譯本見 [I﹐ 1]~。
\item[\hbox{$[23]$}] M. Condorcet﹐ Eloge de M. Euler﹐ 見 Histoire de
I'Academie royale des sciences pour I'ann\'ee﹐1783﹐ Paris﹐ 1786﹐
pp. 37--68~。
\item[\hbox{$[24]$}] R. Wolf$\hbox{﹐}\!\!$ Biographien zur Kulturgeschichte der
Schweiz$\hbox{﹐}\!\!$ IV$\hbox{﹐}\!\!$ Zurich~﹐ 1862﹐ pp. 87--134~。
\item[\hbox{$[25]$}] G. Enestr\"om﹐ Verzeichnis der Schriften Leonhard
Eulers﹐ 見 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker--Vereinigung﹐
Erg\"anzungsband 4﹐Leipzig﹐ 1910--1913~。這是關於歐拉著作的一個十分
出色的重要文獻~。它分三部分﹐ 分別按歐拉著作的出版日期順序､寫作日
期和學科進行登記~。
\item[\hbox{$[26]$}] F. Cajori﹐ A history of physics﹐ Macmillan Company﹐
1928 (中譯本~：弗•卡約里﹐ 物理學史﹐ 內蒙古人民出版社﹐
1981)~。
\item[\hbox{$[27]$}] E.T. Bell﹐ Men of mathematics﹐ Dover Publications﹐
New York﹐ 1937 (中譯本~：E.T.\, 貝爾﹐ 數學精英﹐ 商務印書館﹐ 1991)~。
\item[\hbox{$[28]$}] D.J. Struik﹐ A concise history of mathematics﹐
2 vols﹐ New York﹐1948 (中譯本~：D.J.\, 斯特洛伊克﹐ 數學簡史﹐
科學出版社﹐ 1956)~。
\item[\hbox{$[29]$}] C.B. Boyer﹐ The history of the calculus and its
conceptual development﹐ Hafner Pub. Com.﹐ 1949 (中譯本~： C.B.\, 波
耶~﹐ 微積分概念史﹐ 上海人民出版社﹐ 1977)~。
\item[\hbox{$[30]$}] Ф.П. {\cc Отрадных}﹐{\cc Матемтикв}
\h 2pt XVIII\h 2pt {\cc Века\h 2pt и\h 2pt академик\h 2pt
{\ce Лео- нард}\h 2pt Зйлер}﹐
{\cc Государственное
\h 2pt иэдатеыство} 《{\cc {\ce Советск- ая}\h 2pt
наука}》~﹐{\cc Москва}~﹐1954~。
\item[\hbox{$[31]$}] G. Polya﹐ Mathematics and plausible reasoning﹐
2 vols﹐ Princeton University Press﹐ 1954 (中譯本~： G.\, 波利亞~﹐
數學與猜想﹐ 科學出版社﹐ 1984)~。
\item[\hbox{$[32]$}] 嚴敦傑﹐ 早期輸入中國的歐拉學說 (歐拉誕生 250 週年紀
念~)~﹐ 見《~科學史集刊~》第 1 期﹐ 科學出版社﹐ 1958~。
\item[\hbox{$[33]$}] J.F. Scort﹐ A history of mathematics﹐ Taylir and
Francis﹐ 1958 (~中譯本~：J.F.\, 斯科特﹐ 數學史﹐ 商務印書館﹐ 1981)~。
\item[\hbox{$[34]$}] {\cc А.П.} {\cc Юшкевич}﹐{\cc И.Г.}
{\cc Башмакова}﹐
{\cc Леонард\h 2pt Зйлер}﹐ {\cc Люди
\h 2pt Русской}~﹐{\cc Москва}~﹐1961~﹐
c. 41--63~。
\item[\hbox{$[35]$}] {\cc К.А}. {\cc Рыбников}﹐{\cc История
\h 1pt Математики}﹐I--II﹐{\cc {\ce Иэдатеств- о}\h 2pt
Московского\h 2pt Университета}﹐1961--1963~。
\item[\hbox{$[36]$}] V.I. Smirnov and A.P. Youschkevitch﹐ eds.﹐ Leonard
Eyler﹐ Perepis- ka Annotirovannye ukazateli﹐ Leningrad﹐ 1967~。
\item[\hbox{$[37]$}] A.P. Youschkevitch﹐ Euler﹐ Leonhard﹐ 見 Dictionary
of scientific biography﹐Vol. IV﹐ 1971﹐ pp. 467--484~。
\item[\hbox{$[38]$}] M. Kline﹐ Mathematical thought from ancient to modern
times~﹐Oxford. Univ. Press﹐ New York﹐ 1972 (中譯本~： M.\, 克萊
因~﹐ 古今數學思想~﹐上海科學技術出版社~﹐ 1979--1981)~。
\item[\hbox{$[39]$}] R.\, 塔東﹐ 萊奧納爾•歐勒通信集的編輯出版
情況~﹐ 科學史譯叢﹐ 1983~﹐2﹐ 第 90--92 頁~。這是法國 Ren\'e Taton
提交第十六屆國際科學史大會的論文的中譯文~。
原文載大會論文集 C--D 卷第 307--312 頁~。它介紹了《歐拉全集》第 IV
系列的部分情況~。
\item[\hbox{$[40]$}] Leonhard Euler﹐ 1707--1783﹐ Beitr\"age zu Leben
Werk﹐ Birkh\"auser Verlag Basel﹐ 1983~。
\item[\hbox{$[41]$}] 文學宓﹐ 蘇聯等國紀念歐拉活動簡報﹐ 科學史譯叢﹐
1986﹐ 1﹐ 第 79--80 頁~。
\item[\hbox{$[42]$}] 應重徹﹐ 物理學史﹐ 上海教育出版
社﹐ 1986 (中譯本)~。
\item[\hbox{$[43]$}] 陳省身文選 ------ 傳記､通俗演講及其它﹐ 科學出版
社~﹐ 1989~。
\end{list}
\v 5pt
\h 20pt (本文得到國家自然科學基金資助﹐謹此鳴謝。)
\end{document}
_________________
孫文先 敬上
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