環球城市數學競賽 2004春季賽國中組初級卷參考解答第二題
原文: =================================================== 2. 設n為正整數,如果存在有n個連續的整數(包括正整數、 0及負整數)之和為質數,試求n的所有可能值。(三分) 解: 顯而易見,n=1是可以的:只要取任何一個質數即可。 n=2也可以:任何一個奇質數p都可以寫成2個連續整數的和p=(p-1)/2+(p+1)/2 假設存在某一質數p=a+(a+1) +(a+2)+…+(a+k),其中a為整數、k≧2; 則 2p =[a+(a+1) +(a+2)+…+(a+k)]+[(a+k)+(a+k-1) +(a+k-2)+…+a] =(k+1) (2a+k)
(k+1)與(2a+k)均為大於2的整數,與p為質數矛盾,所以n=1或2。 =================================================== 疑問: 上式中的 2a+k 不一定大於2,也可能等於 1 或 2,也就是 a=(k-1)/2,當 k=2p-1 為奇數;或 a=(k-2)/2 當 k=p-1 為偶數.
例如: 3=(-2)+(-1)+0+1+2+3, n=6. 3 = 0+1+2,n=3. 5=(-1)+0+1+2+3,n=5.
所以 n =1,p,2p 為任意質數. |