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      /  環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題
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發布者內容列
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

請把理由完整寫出。
孫文先敬上

 2004-10-22 19:08
ken526225
Just popping in



註冊日: 2004-09-18
發表數: 2


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

先設存在符合題意此一數列N1,N2.N3..........N2004
因連續十項都能被十整除
故第11項和第一項ㄉ個位數字相等
第2項和第12項個位數字相等
依此類推
故任意連續十項中個位數字均不相等
分別是0123456789
但1+2+3+4+5+6+7+8+9+0=45
不能被10整除
故和假設矛盾
1到2004中並不存在此一數列


省略釵h
我懶ㄌ打........


 2004-10-22 19:34個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

若要使一數列為1至2004的數字重新排列,並且使任意連續十項皆被10整除,
先假設此數列存在,再設此數列第a項加至第a+9項為10r,第a+1加至第a+10項為10p,第2式減第1式得第a+10項減第a項為10(p-r)其中a,p,r為正整數,也就差10項的所有項的個位數字必會相同,
若此數列前十項有兩項或兩項以上的數的個位數字相同,則這兩項之後每格10項的個位數字都會與這兩項相同所以此數列的個位數字將會出現這兩項的個位數字至少200遍,但個位數字為0到9的數字頂多各會出現100或101次,所以前十項的個位數字必各不相同,但0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以前十項一定無法被10整除,所以此數列不可能存在

不知道這樣夠不夠完整,還是太冗長了,請大家給些意見

 2004-10-22 19:48
liuyiwu
Just can't stay away



註冊日: 2004-10-15
發表數: 90
彰化縣彰化高中

 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

20ㄍ一組 第5ㄍ和第20ㄍ交換


_________________
為了追求數學的最高境界 遊走在人間

 2004-10-22 20:27個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

所以此數列的個位數字將會出現這兩項的個位數字至少200遍,但個位數字為0到9的數字頂多各會出現100或101次,?????
請再考慮。
孫文先敬上

 2004-10-22 21:09
yl871809
Home away from home



註冊日: 2003-12-16
發表數: 307
彰化縣員林鎮

 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

引文:

寫道:
若要使一數列為1至2004的數字重新排列,並且使任意連續十項皆被10整除,
先假設此數列存在,再設此數列第a項加至第a+9項為10r,第a+1加至第a+10項為10p,第2式減第1式得第a+10項減第a項為10(p-r)其中a,p,r為正整數,也就差10項的所有項的個位數字必會相同,
若此數列前十項有兩項或兩項以上的數的個位數字相同,則這兩項之後每格10項的個位數字都會與這兩項相同所以此數列的個位數字將會出現這兩項的個位數字至少200遍,但個位數字為0到9的數字頂多各會出現100或101次,所以前十項的個位數字必各不相同,但0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以前十項一定無法被10整除,所以此數列不可能存在

不知道這樣夠不夠完整,還是太冗長了,請大家給些意見


老實說,越看越想越奇怪,難怪孫先生會覺得怪怪的,有些東西好像補充的怪怪的?...


_________________
為了追求數學的極致 於宇宙中四處遊覽

 2004-10-22 21:43個人資料
st85145
Just can't stay away



註冊日: 2004-02-23
發表數: 82
龍之華

 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

引文:

寫道:
所以此數列的個位數字將會出現這兩項的個位數字至少200遍,但個位數字為0到9的數字頂多各會出現100或101次,?????
請再考慮。
孫文先敬上


不小心想錯了,應該是
所以此數列的個位數字將會出現這兩項的個位數字至少400遍,但個位數字為0到9的數字頂多各會出現200或201次

 2004-10-22 22:27個人資料傳送 Email 給 st85145
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

應該可以解,這樣型不行?
1,9,2,8,3,7,4,6,5,15,11,18,12,17,13,16,14,25,35,19,22,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
用互補的方式去排

 2004-11-02 20:08
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

檢察一下便知不行

 2004-11-02 20:46
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組初級卷第一題

針對大家的討論,我做個總結吧!
孫文先敬上
判斷一個正整數是否可以被10整除,只要看個位數是否為0,所以,我們只需要考慮個位數,重新排列個位數即可。
1∼2004中,個位數字為5、6、7、8、9、0的各有200個,個位數字為1、2、3、4的則各有201個。
假設能將正整數1、2、3、…、2003、2004重新排列,使得任意連續十項的和都可以被10整除,那麼在這個排列中,第1項與第11項的個位數應該要相同,第2項與第12項的個位數也應該要相同……依此類推,個位數字應該是一個週期為10項的數列。
然而,0+1+2+…+9=45,45不能被10整除,所以在一個週期中的10項,至少有2項的個位數是相同,從而在整個2004項的數列中,至少有400項的個位數都是這個數字;這與1∼2004中,個位數相同的最多只有201項矛盾,所以不可能將正整數1、2、3、…、2003、2004重新排列,使得任意連續十項的和都可以被10整除。
評分標準:
(1) 說明個位數字為5、6、7、8、9、0的各有200個,個位數字為1、2、3、4的則各有201個→ 1/7。
(2) 說明個位數字應該是一個週期為10項的數列→2/7。
(3) 說明在一個週期中的10項個位數均不同→3/7 。
(4) 指出0+1+2+…+9=45,45不能被10整除→1/7 。


_________________
孫文先 敬上

 2004-11-03 18:12個人資料傳送 Email 給 孫文先
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