任何正整數皆大於等於1 , 故2004不可能分解為2005個以上的正整數之和. 欲證明對於1到2004中任一正整數k, , 存在唯一方法將2004分解為 k 個"差不多相等"之正整數. 則可得到恰有2004種分解方法. 任取一正整數k, k 小於 2005. 先證明可以將2004分解為 k 個"差不多相等"之正整數. 由除法原理, 存在唯一非負整數a,b, 使得 2004=ak+b 並且b 小於 k. 故2004可分解為b 個a+1和 (k-b) 個 a. 又因為 k 小於 2005, 故 a 不為零 因此分解存在. 證明唯一性. 給定k, 若2004分解為 k個 "差不多相等"之正整數a1,a2,....ak. 設 a 為其中之最小數, 則任一ai皆為a 或 a+1. 假設ai中有m個a, m大於0小於k+1. 分解由a和m所決定. 2004=ma+(k-m)(a+1). 故 2004=ka+(k-m). 其中 a, k-m 為非負整數, 故 由除法原理 a, k-m 唯一. 故僅有一種分解方法.
得證恰有2004種分解方法
首次回應文章 不知道這樣寫行不行 |