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   /  高中
      /  最深奧的一題。
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發布者內容列
ALPHONSE
Quite a regular



註冊日: 2003-11-11
發表數: 43
嘉義市

 最深奧的一題。

2004秋季賽題目:

設P(x)及Q(x)均為非常數的多項式。
對於每一個x,都有P(P(x))=Q(Q(x)),
且P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x)))。
請問是否能保證P(x)=Q(x)?


此題乍看之下非常的簡單,想一想配分有點多,
其中必定有詐,才發現它的深奧。
考中學生似乎是過份了些。我覺得。

 2004-10-21 12:42個人資料拜訪網站
訪客








 Re: 最深奧的一題。

如果 P(P(x)) 的領導係數是奇次那就涵誘F整個 R 可以由 P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x)))=Q(P(P(x))) 一下得證
如果是偶次
就設 P(x)=Q(x)+r(x)
當 x 在 P(P(x)) 值域中時
P(x)=Q(x)
即 Q(x)+r(x)=Q(x),r(x)=0有無限多根
所以r(x)=0
於是 P(x)=Q(x)

 2004-10-21 18:05
訪客








 Re: 最深奧的一題。

不懂

 2004-10-21 22:22
訪客








 Re: 最深奧的一題。

他是說設P(x)=Q(x)+R(x)
由於Q(Q(x)) =P(P(x)) 且都是多項式
那麼它的值域會有無限多元素
而Q(Q(Q(x))) =P(P(P(x)))
把 Q(Q(x))=P(P(x)) 都用 k 代
則有無限多個不同的 k 使得 P(k)=Q(k)
即Q(k)+R(k)=Q(k)
即R(k)=0
無論如何 R(x) 的次數是有限的
具有無限多零根顯示了 R(x)=0
所以 P(x)=Q(x)+R(x)=Q(x)+0=Q(x)

 2004-10-21 22:57
ALPHONSE
Quite a regular



註冊日: 2003-11-11
發表數: 43
嘉義市

 Re: 最深奧的一題。

和我寫得一樣。
不過我在考試時想了好一會兒,
沒想到大家一眼就看穿了。
數學素養不夠,有待加油.......

 2004-10-22 09:09個人資料拜訪網站


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