1.
三個圓都通過 X 點,它們異於X的其它交點分別為 A,B,C 三點
點A'是直線AX與三角形 BCX的外接圓的另一個交點
點B'是直線BX與三角形 ACX的外接圓的另一個交點
點C'是直線AX與三角形 ABX的外接圓的另一個交點
試證: 三角形ABC',AB'C,A'BC 兩兩相似(三分)
2.
在一盒子內有藍白紅三種顏色的珠子共100顆
已知我們隨意從盒內取出 26 顆珠子可以保證至少有 10 顆珠子的顏色是相同的
請問我們最少要從盒內隨意取出多少珠子,在滿足上述條件下
無論各種顏色的珠子如何分配,也可以一定保證至少有30顆珠子的顏色是相同的?(三分)
3.
設 P(x) 及 Q(x) 均為非常數的多項式.對於每一個 x 都有 P(P(x))=Q(Q(x))
且P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x))).請問是否能保證 P(x)=Q(x)?(四分)
4.
將 2004 分拆為一個或一個以上的正整數之和,且這些正整數"差不多相等".
所謂一些正整數"差不多相等"是指他們之中的任意兩個數的差等於 1 或 0
請問滿足上述條件的分拆方法共有多少種?(注意:如果分拆後的正整數皆相同,但只有次序不同,視其為同一種分拆方法)(四分)
5.
試找出滿足下列條件的所有正整數 N:
將1,2,3,...,N(N>1)重排,使得任意二個或二個以上的連續項之平均都不是正整數(五分)
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