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      /  環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題
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發布者內容列
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

引文:

yl871809 寫道:
4.小丁心裡想著兩個正數x、y,並在黑板上依隨意的順序寫下x+y、x—y、x × y及x÷y四個數,然後請小方來猜他心理想的那兩個數。試證只看到黑板上所寫的四個數,小方一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。(六分)


我來幫孫先生給些提示,希望是真的有用:
1. 四個數字是否有不可約分數?
2. 四個數字是否有0?
3. 四個數字是否有1?
4. 四個數字是否有連續整數?
5. 四個數字是否有負數?
希望能再不破壞大家發現的樂趣下,給大家繼續討論的動力。

 2004-10-26 22:17個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

謝謝提醒,這些我都考慮過了,我的想法還有些瑕疵。
孫文先敬上

 2004-10-26 22:42
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

引文:

寫道:
謝謝提醒,這些我都考慮過了,我的想法還有些瑕疵。
孫文先敬上


喔..我是要提醒網友啦,相信孫先生已有定論...

我就打個大綱,歡迎大家挑錯:

1. "有不可約分數"
[xy+(x+y)+(x-y)] / (x/y)=y(y+2)
y=根號(y(y+2)+1), x=y(x/y)

2. "4個數皆為整數且有0"
代表 x=y, 4數和=x^2+(2x)+(0)+1=(x+1)^2

3. "4個數皆為正整數" (x/y 為整數, 令 x=ky,k≧2)
此4數為 kyy, ky+y, ky-y, k
其中較大的兩個數為:kyy 與 ky+y,另兩數為較小的數(要整理說明一下),
3-1:若 前兩數與後兩數有一對數相等,必定是 kyy=k,所以 y=1,x=(4數和)/4
3-2: 前兩數與後兩數皆相異,可得y≧2
(ky-y)-k ≧2k-2-k=k-2≧0, 所以最小的數為 k,
4數和=k(y+1)^2,可得y+1,y,x.

 2004-10-26 23:54個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

如果把四數相加可得x(y+1)^2/y
把這數的和分別除以原來四數
可得
x+y =>x(y+1)^2/y(x+y)
x-y =>x(y+1)^2/y(x-y)
xy =>(y+1)^2/y^2
x/y =>(y+1)^2
最後兩數必為平方數且存在另一數為另一數的y^2倍
把此原來兩數相乘可得x^2
再計算y
不知此法可行嗎
歡迎指導


 2004-10-27 09:00
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

提醒大家:
題目中的x, y是正數而不是正整數,難點就在此。
或釦皒蚋衝隄陛ux, y 為大於0的數」,較不易被弄錯。
孫文先敬上

 2004-10-27 09:19
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

引文:

寫道:
提醒大家:
題目中的x, y是正數而不是正整數,難點就在此。
或釦皒蚋衝隄陛ux, y 為大於0的數」,較不易被弄錯。
孫文先敬上


糟了...看錯題目了,回去再想過...

 2004-10-27 16:44個人資料
yl871809
Home away from home



註冊日: 2003-12-16
發表數: 307
彰化縣員林鎮

 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

引文:

galois5 寫道:
引文:

寫道:
提醒大家:
題目中的x, y是正數而不是正整數,難點就在此。
或釦皒蚋衝隄陛ux, y 為大於0的數」,較不易被弄錯。
孫文先敬上


糟了...看錯題目了,回去再想過...


難就難在有小數和分數的部分....(如果都是整數的話以我的舊方法要證出來應該不是問題)


_________________
為了追求數學的極致 於宇宙中四處遊覽

 2004-10-27 18:05個人資料
chicken
Just popping in



註冊日: 2004-10-08
發表數: 1


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

(x+y)+(x-y) (x+y)-(x-y)
-----------------*------------------=
2 2

(x+y)+(x-y) (x+y)-(x-y)
--------------除以------------------*(x-y)^2
2 2


_________________
幾何代數開更號
三角函數也很好
分數小數公因數
我行我素做題目

 2004-10-27 23:21個人資料傳送 Email 給 chicken拜訪網站
galois5
Just can't stay away



註冊日: 2003-11-08
發表數: 86


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

想到一個蠻複雜的方法,給大家參考一下:

1. 因為 4(xy)(x/y)=[(x+y)+(x-y)]^2,
所以將4個數平分成2組,看看一組乘積的4倍與
另一組和的平方是否相等. 總共要驗算6個式子,
當然至少有一個是成立的。

2. 如果只有1個成立,就得知 (x+y),(x-y),就求得 x,y

3. 如果有 1 個以上成立的話,可能是其他 5 種分組
的可能,下面舉一種說明,其餘情況類似或不可能發生:

假設選到的是 4(x+y)(x/y)=[(x-y)+(xy)]^2
解 x 的方程式,可得 x=y/(y-1) (當y不等於1)
或 x=y^2/(y^2+3y+4)

A. 第一個解相當於 xy=x+y,也就是這個等式與原本
我們想要的式子是等價的,也可球出一樣的x,y.
B. 第2個解,可推導出:x < y,且
x+y 大於 y-x 大於 (xy 或x/y),也就是 4 個數中
最大的是 (x+y), 最小的是 (x-y). 即可求出一樣的 x,y.

 2004-10-28 00:07個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

令S={x+y, x-y, xy, x/y}
首先,由於x,y爲正數,故在x+y, x-y, xy, x/y中只有x-y可能不是正數。
以下分三種情況討論:
(a) S含0,則x=y, x/y=1. 考慮S中非零數的積,由(xy).(x+y)=2x^3得到x,y.

(b) S含負數,這時有x

 2004-10-28 22:54
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