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      /  環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題
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發布者內容列
yl871809
Home away from home



註冊日: 2003-12-16
發表數: 307
彰化縣員林鎮

 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

引文:

寫道:
我說一下我的解法....
不知對不對

小丁心裡想著兩個正數x、y,並在黑板上依隨意的順序寫下x+y、x—y、x × y及x÷y四個數,然後請小方來猜他心理想的那兩個數。試證只看到黑板上所寫的四個數,小方一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。

題目只說證:「一定有足夠的訊息可以唯一地算出x、y之值。」
所以:

因為[(x+y)+(x-y)]/2=(xy)*(x/y)^2
我們先任選2個數來算以上算式
若合
則可求出x
又可試出唯一的y
若不合
則掉換一數必可合此算式
接下來依樣畫葫蘆
即可得解


只要X和y大一點你就試到死......


_________________
為了追求數學的極致 於宇宙中四處遊覽

 2004-11-06 20:38個人資料
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

這題現在怎麼樣了..

 2006-12-16 15:40
訪客








 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

答案出來了嗎?

 2006-12-24 00:51
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 環球城市數學競賽2004秋季賽國中組高級卷第四題

參考答案如下

令S={x+y, x-y, x×y, x÷y}
首先,由於x、y爲正數,故在x+y、x-y、x×y、x÷y中只有x-y可能不是正數。以下分三種情況討論:
(1) S含0,則x=y、x÷y =1。
考慮S中非零數的積,由(x×y)(x+y)=2x^3可得到x、y。
(2) S含負數,這時有x<y、 x÷y <1。記T={x+y, x×y, x÷y }
令N爲T中小於1的數的個數
(2.1) N=1,則T中最小的數爲x÷y。由x-y、x÷y可確定x、y。
(2.2) N=2,這時x+y不能小於1(若x+y<1 x<y<1 x×y <1 N=3),則T中最大的數爲 x+y 。由x-y、x+y可確定x、y。
(2.3) N=3,這時x+y<1,有x<y<1,於是x×y<x+y、x×y < x÷y,x×y爲T中最小的數。由x-y、x×y可確定x、y。
(3) S中均爲正數。
我們證明可將S中四個數分爲兩組A、B,每組兩個數,使得A中兩數之和的平方爲B中兩數之積的4倍,且A中的數之數值唯一確定。
由於可取A={x+y, x-y},B={ x×y, x÷y },從而若上面斷言成立,則A中兩數的值必爲x+y、x-y,這樣便可確定x、y。
現在證明這一點:令S={a, b, c, d},假設有分法A、B和A'、B';A和A'不同,則有兩種可能:
(3.1) A和A'沒有相同的數,
令A={a, b}、A'={c, d};則B={c, d},B'={a, b}
這時有 (a+b)2=4cd、(c+d)2=4ab (a-b)2+(c-d)2=0 a=b、c=d;
進而由(a+b)2=4cd,得到 a=b=c=d或a=b=-c=-d
前者要求x+y=x-y,後者說明有兩個負數,均不可能!
(3.2) A和A'恰有一個相同的數,
不妨設A={a, b}、A'={a, c},且b不等於c。
於是 (a+b)2=4cd、(a+c)2=4bd;將此二等式的兩端分成乘以b、c,再將兩式相減得b(a+b)2-c(a+c)2=0,
即(b-c)[a2+2a(b+c)+b2+bc+c2]=0
但是b-c非零,且由a、b、c爲正數有a2+2a(b+c)+b2+bc+c2>0。矛盾!
以上分析說明可唯一確定x、y。


_________________
孫文先 敬上

 2006-12-24 10:10個人資料傳送 Email 給 孫文先
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