為什麼算錐體的體積要多乘一個三分之一?!

我其實也滿想知道詳細的證明的...
我只知道可以用正方體切割的方式來證明
切出來的錐體是三分之ㄧ的體積
若是圓錐的話，或雪|用到積分吧

希望有人能提供一下詳細證明
謝啦!

以下是一些微積分概念

先不要管圓錐體
試考慮一正方錐體
它是三分之一個正立方體
當了解這個後,

另外要知道
(圓面積)=(正方形)X(常數兀)

再回考慮一正方錐體的情況
正方錐體毎一切面都是大大小小的正方形面
當這個(正方形面)X(常數兀)
就會變成一些大大小小的圓形面
請加以想像,你會發覺它是一圓錐體
所以
(圓錐體)=(正方錐體)X(常數兀)
(圓錐體)=1/3(立方體)X(常數兀)

基本上從方錐推導到圓錐的想法就是這樣
(P.S.圓面積=正方形面積乘上四分之Pi)

不過還是老問題
方錐的1/3正方體是怎麼切出來的啊???

麻煩再解答一下囉!

正方體有六個面、八個頂點
由正方體的中心點連接到八個頂點
可以切出六個相同的正方錐
原來正方體的六個面就成為錐體的底面
每一個正方錐的體積為原來正方體的六分之一
因為正方錐的高，是原來正方體高度的一半
半個正方體就與三個正方錐體積相同
因此，正方錐的體積就成了1/3(底面積X高)

半個正方體就與三個正方錐體積相同
因此，正方錐的體積就成了1/3(底面積X高)
????看不懂

假設您看到「半個正方體就與三個正方錐體積相同」這一步，是沒問題的
接下來請您想想
半個正方體的體積=底面積X高，
這裡的「底面積」=原先正方體任一個面的面積
它的「高」=原先正方體高度的一半

現在回到正方錐，
既然，三個正方錐的體積與半個正方體相同
那麼，正方錐的體積=1/3(半個正方體的體積)

這時候我們就可以說:
正方錐的體積=1/3(底面積X高)

在這裡，正方錐的
底面積=原先正方體任一個面的面積
高=原先正方體高度的一半

如果您覺得我還是沒說清楚，建議您：
用勞作用的黏土，動手作一個正方體
然後依序用我先前提過的方法，作出6個體積相同的正方錐。
進行實體的比較，也雪|清楚一些。

阿基米德曾用槓桿原理來證明
可是需要畫圖，所以在這裡很難講...
詳見《阿基米德幹了什麼好事》一書
(我看到這篇證明時我也震撼了一兩天......)

阿基米德(公元前287--前212)， 實在很厲害
在「數學史概論」一書中對於他的證明有些記載，李文林著，九章出版，p.52~58。

他用「平衡法」即(槓桿平衡原理)，解決了一系列幾何圖形的面積、體基計算問題，包括：圓、拋物線、螺線、球、圓柱、錐體、錐曲面、旋轉橢球、拋物弓形.....。

然而，平衡法本身必須以「極限論」為基礎，阿基米德意識到他的方法在嚴密性上的不足，所以當他用平衡法求出一個面積或體積之後，必再用「窮竭法」給以嚴格的證明，這種發現與求證的雙重方法，是阿基米德獨特的思維模式。

在二千多年前，這種方法是前所未有的創新，阿基米德的創新能力與堅持信念，不斷努力超越時代、超越自己，足以立足與歷史，永垂不朽。值得我們敬佩與學習。

把底面和高相同ㄉ錐體、柱體ㄉ錐體，到進柱體內，會只有1/3

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