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註冊日: 2002-09-19
發表數: 4
|  請教孫文先老師一個問題! |  | 孫老師您好:
根據算術基本定理(Fundamental theorm of arithmetic)
任何大於1的自然數都可分解成唯一的質因數乘積.
N=(p1^n1)*(p2^n2)**....**(pn^nn)
p1,p2,,,,pn為質數,n1,n2,,,nn大於0.
例如12=2*2*3=(2^2)*(3^1)
則12的因數個數共有(1+2)*(1+1)=6(個)
12所有的因數的合(包含1)=(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)
=(1+2+4)*(1+3)
=(7)*(4)
=28
請問以上2個公式是怎麼來的,那裏有這方面的參考
資 料? 謝謝!!
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|  2002-10-30 23:27 |  | 訪客
| | Re: 請教孫文先老師一個問題! | | N若可分解成另一種質因數乘積
N=(q1^r1)*(q2^r2)**....**(qm^rm)
q1,q2,,,,qm為漸大之相異質數,r1,r2,,,rm大於0.(注意：ri若可以等到0，n就不是可以唯一表示)
若存在qi不等於p1, p2,....,pn 之一，則qi不是n的因數，矛盾。
因此p1=q1, p2=q2, ....
若存在某一項pi^ni不等於qi^ri, 即ni不等於ri, 不妨設
ni大於ri,將n除以pi^ri, 則s=n/pi^ri=(p1^n1)*(p2^n2)....
..pi^(ni-ri)....(pn^nn)=(p1^r1)*(p2^r2)....p(i-1)^.r(i-1)p(i+1)^.r(i+1)....(pn^nn), s既有因數pi又沒有，矛盾。
對每一個質因數pi^ni而言，n的因數可取pi的0, 1,2,..ni次方，故有(1+ni)種取法，所以n的因數共有
(1+n1)(1+n2)(1+n3)...(1+nn)個。(包括1及本身)
孫文先
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| | 2002-11-02 16:40 | | 訪客
| | Re: 請教孫文先老師一個問題! | | 用更簡單的方法說就是
12= 2 的平方乘以 3 的一次方
也就是說
有兩種質因數 2 和 3
而且 12 的因數可能是 2 的零到二次方乘以 3 的零到一次方
所以共有 (3 * 2 )= 6個因數
即 1,2,3,4,6,12
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| | 2002-11-13 19:16 | |
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