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      /  天平問題
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孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 天平問題

敬啟者:
寒假已至,為了協助大家排解無聊,特挑選一些精彩的天平問題供大家討論。
孫文先敬上

天 平 問 題

1. 有68枚重量互不相同的硬幣,用天平在100次內要找出最重和最輕的硬幣,試說明該怎樣來做。(1985 Spring, Junior O-Level 2.)

2. 給定61枚外表相同的硬幣。其中有兩枚重量相同的假幣,其餘59枚是重量相同的真幣。已知假幣與真幣重量不同,但並不知道一枚假幣與一枚真幣哪一個較重。如何用一架天平進行三次秤量了解到底假幣較重,還是較輕?(並不要求將假幣從真幣中區分出來。)(1990 Spring, Junior O-Level 4.)

3. 己知在32個外觀相同的金幣中有兩個是假幣,這兩個假幣的重量與真幣的重量不同(每個真幣的重量都相等;兩個假幣的重量相等)。假若至多只能用天平秤4次(天平只能顯示兩堆金幣中,哪堆重量較重,或兩堆重量相等)。試問:如何將這32個金幣分為重量相等的兩堆?(2000 Autumn, Junior O-Level 4.)

4. 小凱有4個外觀相同的錢幣,小明告訴小凱說,這4個錢幣中有二個是真的、二個是假的。已知每個真幣的重量都相等,每個假幣的重量也都相等,而且一個真幣比一個假幣重。試問:小凱能不能最多只用天平秤兩次,就確定小明說的話到底對不對(也就是說確定小凱的4個錢幣到底是不是恰好有二枚真幣、二枚假幣)?(註:天平無法顯示刻度)(200l Autumn, Junior O-Level 3.)

5. (1)有二種不同重量的金幣共128枚,每一種各64枚。試問:如何使用沒有刻度的天平,在秤不超過7次的惰形下,找出二枚不同重量的金幣?

(2)有二種不同重量的金幣共8枚,每一種各4枚。試問:如何使用沒有刻度的天平,在只秤2次的情形下,找出二枚不同重量的金幣?(2002 Spring, Junior O-Level 5.)

6. 已知有六片重量都不相等的乳酪可以分為二堆,每堆各有三片,且總重量相等。假設對於任何二片乳酪,我們都可以經由目測明顯地分辨出何者較重。試問:如何使用沒有刻度的天平只秤2次,就可以把這六片乳酪分為各有三片,且總重量相等的二堆?(2002 Spring, Senior O-Level 3.)

7. 有一組砝碼,其質量均為2的冪次方:1克、2克、4克、…等等,其中有些砝碼可以有同樣的質量。在一架天平的兩邊放上一些砝碼,使兩邊平衡。已知左邊的砝碼是各不相同的。證明:在天平右邊的砝碼個數不會少於左邊的個數。(1988 Spring, Junior A-level 4.)

8. 滿足以下要求的一組砝碼被稱為一個基本組:

(A)組中每個砝媽的重量都是整數。

(B)組中所有砝碼重量的總和等於200。

(C)任何不超過200的整數重量都可用組中唯一確定的一些砝碼通過天平秤出(「唯一」的含義不涉及到用來秤重的砝媽的排列次序,也不涉及到在兩個等重的砝碼中選用哪一個—假若有這種選擇的可能,且規定秤的時候,物體放一邊,砝碼放一邊)。

(1)顯然200個重量為1的砝碼組成一個基本組。試舉出不同於這種簡單情形的另一個基本組。 (2)總共有多少個不同的基本組?(1990 Spring, Junior A-level 6.)

9. 50枚銀幣按重量順序排成一行。51枚金幣也按重量順序排成一行。已知所有這些硬幣重量各不相同。給定一架天平,每次允酗騆任選的兩枚硬幣的重量。怎樣通過7次比較,準確判定哪一枚硬幣的重量居中?(所謂「居中」是指:若將這10l枚硬幣按重量順序排成一行,該枚硬幣恰排在第51位。)(1992 Spring, Junior A-level 5.)

10. 是否存在k個整數克重的砝碼(不同砝碼可能有相同重量),用天平可以秤出從1克到55克重的任何物體,甚至少了幾個砝碼也能做到這點。對下面兩種特殊情形存在嗎?(規定秤的時候,物體放一邊,砝碼放一邊。)

(1)k=10,少了任何一個砝碼。

(2)k=12,少了任何兩個砝碼。(1993 Autumn, Junior A-level 6.)

11. 有十個砝碼,重量分別為1、2、4、8、16、32、64、128、256及512克。有一物體為M克重,其中M為正整數。由於可以用多種砝碼的組合用天平來秤出該物體的重量。試證:

(1)沒有任何物體可以用多於89種不同砝碼的組合方式秤出重量。

(2)試求出重量M,使得重量M的物體可以用89種不同砝碼的組合方式秤出來。

(1997 Spring, Junior A-Level 7.)

12. 現有1997個物體,其重量分別為m=1、2、…、1997。設它們可以用有20個砝碼的天平分辨出其重量(規定秤的時候,物體放一邊,砝碼放一邊)。試求最重砝碼的最小可能值:

(1)如果砝碼重量全是整數。

(2)如果砝碼重量不全是整數。(1997 Spring, Senior A-Level 3.)

13. 有100個砝碼,它們的質量分別為1、2、3、…、100克,在所有可以將這100個砝碼分成二組放在天平的兩邊,使它們平衡的方法中,試證:一定可以從天平之兩邊各拿掉兩個砝碼,而不影響天平的平衡。(1999 Autumn, Junior A-Level 3.)

練習題

E1. 2003個硬幣中有20個假幣,假幣不知比真幣重,還是比真幣輕,但知道假幣與真幣重量相差1公克。現有一架能指出兩臂上物品重量之差的天平。從2003個硬幣中任取出一個硬幣,您能否只用天平秤一次即判斷出其為真幣或假幣?

E2. 有14個硬幣,有位專家宣稱他發現這些硬幣中有7個是真的,7個是假的,並且知道哪個是真的,哪個是假的。而我們只知道真幣的重量均相同,假幣的重量均相同,但比真幣重。請問這位專家如何用天平秤三次就可以說服我們同意他的判斷?

E3. 能否只用無砝碼的天平秤7次,即可將5件不同重量的物品,依輕重排出其順序?

E4. 五件重量為10、20、30、40、50之物品,能否用無砝碼的天平秤5次將其依輕重排出其順序?

E5. 用有砝碼的天平要秤出1∼40克之間任意整數克的物品,

(A) 砝碼只能放在天平的一側。

(B) 砝碼可以任意放在天平的二側。

(1) 請問最少各要用幾個砝碼?它們的重量分別是多少?

(2) 承上題(B),如何秤25克的物品?左盤放哪些砝碼,右盤放哪些砝碼?

E6. 有重量為1、2、…、27克的物品各1個,最少用幾個砝碼可分辨出其重量?這些砝碼的重量各是多少克?(不限秤1次;已秤出的物品不可以當作砝碼;法碼可以任意放在天平的二側。)



_________________
孫文先 敬上

 2005-01-19 21:47個人資料傳送 Email 給 孫文先
shao
Not too shy to talk



註冊日: 2004-10-22
發表數: 27


 Re: 天平問題

E-1
設硬幣為X,則假幣為X+1或-1,則總重為2003X+or-20。若所取的為真幣則剩下2002X+or-20,將剩下的2002個幣分成兩堆為1001X+A和1001X+B又A+B=+OR-20 由於20為偶數所以必為基數加基數或偶數加偶數,基數減基數和偶數減偶數都為偶數,所以若兩堆差為偶數則硬幣為真幣,反過來19危機數加偶數,基數減偶數=基數 偶數減基數也等於基數。所以若兩堆差為基數,硬幣為假幣。


.......笑


_________________
.......笑

 2005-02-24 20:05個人資料傳送 Email 給 shao
shao
Not too shy to talk



註冊日: 2004-10-22
發表數: 27


 Re: 天平問題

5-2也解出來了,但太長就不打了。其他都不太會解,請問孫老師是否可以公佈答案。
還有不知道為什麼我每次選附加千名都沒有用。

.......笑


_________________
.......笑

 2005-02-24 20:13個人資料傳送 Email 給 shao
孫文先
Moderator



註冊日: 2002-07-30
發表數: 1094


 Re: 天平問題

因為「千」錯了。
您不把答案列出誰知道對不對?
很多人還再繼續思考中,我不想剝奪他們的樂趣。


_________________
孫文先 敬上

 2005-02-25 16:42個人資料傳送 Email 給 孫文先
shao
Not too shy to talk



註冊日: 2004-10-22
發表數: 27


 Re: 天平問題

5-2
設重的幣為A,輕的為B
A在天平的兩端各放兩枚,若不一樣重
1 aa bb 2aa ab 3bb ab
再重兩端中各取一枚若不同即得證。若相同必為2或3則秤第一次而沒秤第二次的兩枚必不同。

B若一樣重
1aa aa 2bb bb 3ab ab
把天平兩端任一端的兩枚拿來秤,第3種必得證。若一樣的話就重第一次秤的四枚和重來沒秤過的四枚中各取一枚,得證

.......笑


_________________
.......笑

 2005-02-25 19:32個人資料傳送 Email 給 shao
shao
Not too shy to talk



註冊日: 2004-10-22
發表數: 27


 Re: 天平問題

E2
設重的假幣為a,輕的真幣為b
在天平上放 a____b大家皆可知較重的的左邊為假幣右邊是真幣,接著不要去動天平上的幣,在左邊放入兩個b,右邊放兩個a﹝此時要讓大家看清楚﹞
abb____baa。大家皆看到右邊變重時便知道我放的四個幣各是什麼了,因為沒有第二種可能能讓重的那一邊變成右邊。此時把第二次放入的兩個a和兩個b拿起,並讓大家清楚的看到你把兩個a和其他四個b放入左邊,兩個b和和其他四個a放入右邊aaabbbb______bbbaaaa。大家皆知右邊有三個a,左邊有三個b,卻是右邊較重,此時大家就能確定我所放的8個幣是什麼了,而總共有7個真幣,7個假幣。


.......笑


_________________
.......笑

 2005-02-25 19:55個人資料傳送 Email 給 shao
shao
Not too shy to talk



註冊日: 2004-10-22
發表數: 27


 Re: 天平問題

的確還是不要把答案貼出來比較好
簽名還是出不來,只好自己打。

.......笑


_________________
.......笑

 2005-02-25 19:57個人資料傳送 Email 給 shao
yl871809
Home away from home



註冊日: 2003-12-16
發表數: 307
彰化縣員林鎮

 Re: 天平問題

引文:

shao 寫道:
的確還是不要把答案貼出來比較好
簽名還是出不來,只好自己打。

.......笑


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在簽名處打入你的簽名,並且在下方的允野[入簽名處打勾→




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@@


_________________
為了追求數學的極致 於宇宙中四處遊覽

 2005-02-27 16:17個人資料
shao
Not too shy to talk



註冊日: 2004-10-22
發表數: 27


 Re: 天平問題

成奶F,謝謝你


_________________
.......笑

 2005-03-01 21:08個人資料傳送 Email 給 shao
ARGY2K
Not too shy to talk



註冊日: 2004-04-12
發表數: 21


 Re: 天平問題

1. 將68枚硬幣分34堆一堆2枚互相秤重,重的分一堆,輕的分一堆,一堆34枚。兩堆34枚的硬幣中分別再兩兩分17堆秤重,留下較重堆34枚中兩兩秤後較重的17枚,以及較輕堆34枚中兩兩秤後較輕的17枚。較重的17枚逐一秤重找出最重者,較輕的17枚逐一秤重找出最輕者。
總共要34+17*2+16*2=100次

 2005-03-10 22:34個人資料
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