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      /  一條令釵h人昏倒的題目 Lagrange Multiplier
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自由人二
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註冊日: 2005-02-20
發表數: 4


 一條令釵h人昏倒的題目 Lagrange Multiplier

一條令釵h人昏倒的題目 Lagrange Multiplier


94,02,10,20,18
所論的題目需要使用微積分,令微分值為零,
以求解,所以讀者需要有微積分的基礎。

論壇限制長度最多七千五百字,自由人自己的
網頁錄有全文,使用大約三萬字,由三萬字縮
減至七千五百字,不得不刪除釵h說明。

請到自由人網站取墨文,網址如下
http://freeman2.com/tutc0001.htm
94,02,10,20,21

94,02,16,07,26
若簽送至初中、小學網站,請數學老師嬝炕C
94,02,16,07,27

93,12,13,21,19始

93,12,13,17:29:19 自由人取黎U面討論
http://mathforum.org/library/drmath/view/52071.html

Date: 11/24/98 at 16:29:56
From: Sam
Subject: LaGrange Multiplier

內容如下(原卷是英文)
■□
我有一個簡單的問題,是有關於朗冠吉係數
(LaGrange Multiplier)的題目,我的根本
問題是如何決定這兩個方程式中,那一個是限
制條件式?大多數的題目都明確指出目標方程
式及明確指出限制方程式,這種題目,我只要
按照解題步驟做下去。但是,這一道題目不太
好做,題目中那堜確指出限制條件式呢?例
如,這埵酗@條作業題。

〔〔
有兩條曲線,每條線上有一個點可以自由沿線
移動,找出那兩個點(一線一點)的距離最近
。請用朗冠吉係數法解題。
y = 2x - 3
y = x^2
〕〕

現在我的問題是,這兩個方程式,到底那一個
是限制條件式?

若您能夠為我解答,感激不盡。謝謝。Sam
□■

上面是網路文章,提出問題,這是一個令釵h
新手昏倒的題目,因為那一個方程式是限制式
?那一個方程式是目標函數(待極小化)都不
知道。如果讀者有興趣,請先思考。

過幾天再註明自由人意見。

93,12,13,21,52止

94,01,22,10,54始

日期﹕11/24/98 at 17:07:04
發信﹕尚圖博士 Doctor Santu
主旨﹕回覆「朗冠吉係數」

嗨,你好。

山姆,實際上呢(你有心理準備嗎?)這兩個
公式
y = 2x - 3
y = x^2
都是限制式!你可能知道題目可以出現多個限
制式。你必須對每一個限制式使用一個朗冠吉
係數。限制式的意思是說防止你離開定義域。
這一道題目的待極小化目標函數(或待最佳化
)是兩點之間的距離。
(x[1],y[1]) 及 (x[2],y[2]) 兩點。
顯然我們可以令兩點盡可能接近,直到距離為
零(兩點重合)。但是題目指定第一點必須在
第一條曲線上、第二點必須在第二條曲線上。

所以你需要對兩點之間的距離施以極大化。
(自由人註﹕此處應該是「施以極小化」)
目標函數為
sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2],
同時受到限制條件
y[1] = 2x[1] - 3,

y[2] = x[2]^2.
兩點必須位在各自曲線上。

有其他方法可以解此問題,也有捷徑。一個捷
徑是忽略開平方「sqrt」關係。只要
找到兩點之間距離平方的最小值,與
找到兩點之間距離  的最小值完全一樣。
忽略開平方可以省去釵h計算。

另外一個方法,先求出 y 是 x 的那種函數,

然後消除一個變數,解單變數問題,可以完全
忽略朗冠吉係數,不過對練習朗冠吉係數而言
,這是欺騙行為。

—尚圖博士。數學論壇
http://mathforum.org/dr.math/

94,01,22,11,27止

94,01,22,11,45始
上面是關於朗冠吉係數的問題及數學論壇尚圖
博士的回答。自由人翻譯為中文,如果有翻譯
欠妥,應該以英文為主。

下面是山姆、尚圖論題圖解。


自由人的看法如下。

y = 2x - 3
y = x^2

兩個公式,正好與釵h朗冠吉係數初階教材使
用的兩個公式相似。請比較下面兩個公式

(上面是山姆、尚圖論題,本文解此題。
 下面是不同的題目,只是舉例,沒有解題)

G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
R(x,y) = x + y - 3 = 0

G(x,y) 代表目標函數 (Goal)
R(x,y) 代表限制條件 (Restriction)

目標函數可以極大化(最大利潤),
目標函數可以極小化(最小成本)。
極大化的目標函數乘以負一變為
極小化的目標函數,所以極大化或極小化處理
方法相同,釵h最佳設計課本統一為極小化問
題,並且稱目標函數為成本函數。聽見「成本
」大家都知道成本越低越好。不論目標函數是
否真的討論降低成本,「成本函數」的「成本
」只是形容詞。

題目寫為

極小化目標函數
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)

受到限制條件
R(x,y) = x + y - 3 = 0

在最佳設計課本中,所有限制條件式統一為
限制條件公式 = 0

為什麼限制條件全部調整為「等於零」?

第一
因為不等於零的限制式在移項之後變為等於零
,例如限制式
x+y=5

x+y-5=0
全等。

第二
待極小化目標函數 G(x,y)
要與  限制條件 R(x,y) 相加,成為複合的
朗冠吉函數 L(x,y)=G(x,y)+lambda*R(x,y)
其中 lambda是朗冠吉係數。也就是
朗冠吉函數=目標函數+朗冠吉係數*限制條件

(請注意上述朗冠吉函數與目標函數之差別)

若限制條件 R(x,y) 恆等於零,目標函數加零
不改變目標函數的值。也就是
如果限制條件全部調整為等於零,那麼,
朗冠吉函數的值與目標函數的值相等。

94,02,02,19,06加入始
第三
限制條件全部調整為「等於零」可以還原限制
條件。
如果限制條件錯誤使用
x+y=5
如何納入朗冠吉函數?
朗函數=目標函數+朗係數*(x+y) (錯!)
嗎?但是!
在執行朗冠吉函數對朗冠吉係數微分的結果
 是令為零! (x+y=0 錯誤限制式)
不是令為五, (x+y=5 原有限制式)

如果限制條件 ●不● 調整為「等於零」
「微分的結果令為零」不能還原限制條件式!

● 因為朗冠吉係數法解題時有一步為令
● 朗冠吉函數對朗冠吉係數微分=0,
● 唯有限制條件全部調整為「等於零」
● ,然後拋棄「等於零」,把剩餘部分
● 乘以朗冠吉係數,再納入朗冠吉函數
● ,等候在微分過程中,限制條件獲取
● 一個「等於零」,如此才可能還原限
● 制條件。

原有限制條件公式在朗冠吉係數法解題時必須
重現,才能維持正確題意。(重點)
94,02,02,19,39加入止

● 既然限制條件 R(x,y) 恆等於零,
● 故「 = 0」經常略除,

題目簡化為(略除「 = 0」)
極小化 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
限制式 R(x,y) = x + y - 3

為什麼要用 G(x,y) 及 R(x,y) ?
不用 G(x,y) 及不用 R(x,y) 可以嗎?

右端的繁雜公式以左端簡符代表。

解題步驟需要定義朗冠吉函數如下
L(x,y)=G(x,y)+lambda*R(x,y)
比較精簡。如果不用簡符代表,直接寫為
L(x,y)=(x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)+lambda*(x + y - 3)
比較繁雜,所以使用 G(x,y) 及 R(x,y) 。

累積以上的背景條件之後,
下面的列式(略除「 = 0」及使用 G, R)
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
R(x,y) = x + y - 3
使新手困惑!


極小化 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
限制式 R(x,y) = x + y - 3
嗎?


極小化 R(x,y) = x + y - 3
限制式 G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
嗎?

是認定 G(x,y) 為目標函數嗎?但是
G(x,y)是隨意代符,如果改用
C(x,y) = x + y - 3
D(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
我怎麼知道誰是誰?!

為此,自由人曾經苦思很久。最後注意其差別

極小化公式的 G(x,y) 是變動值,不能鎖死。
限制式的   R(x,y) 是固定值,不能變動。
● 請注意,上面兩行是重點! ●

極小化公式的 G(x,y) 是變動值,不能鎖死。
因為「極小化」的意思是有多重選擇,
如果指定 G(x,y) 等於零,或
如果指定 G(x,y) 等於一,請想一想,
G(x,y) = (x-1)*(x-1) + (y-2)*(y-2)
等於常數?
已經鎖定了,不可能執行極小化!!

另一方面,
限制式的   R(x,y) 是固定值,不能變動。
如果 R(x,y) = x + y - 3 等於變動值,這就
不是限制條件了!
R(x,y) = x + y - 3 = 0 鎖定 x, y 關係
R(x,y) = x + y - 3 = 任意值, x, y 無關

現在回到山姆的問題,已知兩個公式
y = 2x - 3
y = x^2
可以改寫如下
y - 2x + 3 = 0
y - x^2 = 0
都是等於常數(零)的公式,所以二者都是限
制式。(此處自由人回答了山姆的問題)

對應的比較,尚圖博士列出的兩點距離公式

sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2]

沒有「等於常數」的符號,故為目標函數,
可以極小化(或極大化)。

雖然距離公式不可以等於常數,不過
距離公式可以等於代符,便利建立朗冠吉函數
, ●只要不指定代符為常數即可● 。

希望以上是越說越明白。

自由人  中國九十四年一月二十二日

94,01,22,12,48止

.....
首先用最基本的方法解題,不用朗冠吉係數。

論壇有長度限制,自由人數理自修網頁有全文
http://freeman2.com/tutc0001.htm
.....

94,01,28,11,19始
上面已經用普通方法解出山姆向尚圖博士提出
的兩曲線之間最短距離問題,也討論了與朗冠
吉係數法相關的常識。

下面用朗冠吉係數法解相同的問題。

山姆指出的限制公式為兩條曲線
y = 2x - 3 ……A52式
y = x^2   ……A53式

尚圖博士指出的重點是極小化距離函數﹕
sqrt[(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2]

尚圖博士也告訴讀者略除開平方函數,
不要 sqrt[] ,把目標函數簡化為距離平方
(x[1]-x[2])^2 + (y[1]-y[2])^2 …A51式

以 G() 代表目標函數,
以 R1()代表限制公式一,
以 R2()代表限制公式二,
便利建立朗冠吉函數,列式如下



上面是問題的數學列式,
下面是問題的幾何圖形。



朗冠吉係數法不利用限制式消除因變數,
朗冠吉係數法把限制式乘以係數再與目標函數
相加,建立朗冠吉函數如下圖A65式﹕



距離平方 G() 有兩個自變數;兩個因變數﹕
x1 x2;y1 y2

朗冠吉函數 L() 有六個自變數﹕
x1 x2 y1 y2 λ1 λ2

其中
(x1,y1)是曲線一上任意點,
(x2,y2)是曲線二上任意點。

λ1乘以曲線一公式R1()後加入目標函數 G(),
λ1是曲線一使用的朗冠吉係數。

λ2乘以曲線二公式R2()後加入目標函數 G(),
λ2是曲線二使用的朗冠吉係數。

最終的總組合稱為朗冠吉函數 L() 。

94,01,28,12,07止

94,01,28,14,18始

因為朗冠吉函數已經納入限制條件因素,
●●朗冠吉函數以外不再有限制條件,所以
● 朗冠吉函數是十足的無限制條件函數。
● 朗冠吉函數的變數如同互不相依的自變數

一個沒有限制條件的函數可以直接執行微分。

朗冠吉函數的變數是
目標函數的變數  x1 x2 y1 y2
加所有朗冠吉係數 λ1 λ2

94,01,28,14,28止

94,02,01,08,56始
假設目標函數的變數為m=4個(尚圖解題)
假設限制條件的數目為n=2個(尚圖解題)

朗冠吉函數的變數是m+n=6個。

目標函數的自由度為m=4個
限制條件減少的自由度為n=2個
目標函數的無限制自由度為m-n=2個

如果
m=4個變數的目標函數受
n=4個限制條件的約束,
目標函數的無限制自由度為m-n=0個

零個自由度?!答案只有一個點?!
這是初中學生的代數題目!
不是最佳設計問題!!

這堨D要說明m>n才是合理的題目。

(n>0時才需要勞駕朗冠吉)

94,02,01,09,09止

94,01,28,15,40始
以下是朗冠吉函數對六個自變數的偏微分。

下面是朗冠吉函數的定義式(A71式)及
朗冠吉函數對六個自變數的偏微分列式
A72式

A77式





dL/dx1 表示x1微變時,L的微變量。
如果在點x1*處 dL/dx1等於零,我們說
x1*是靜止點。
下面三種情況都會產生靜止點﹕
如果x1*是鄰域內的最小值點,
如果x1*是鄰域內的最大值點,
如果x1*是鄰域內的轉折點,
這三種情況都會產生 dL/dx1等於零,

我們指定 dL/dx1等於零,就是要求x1
走到靜止點。然後我們可以判斷,這個x1*
是最小值點?是最大值點?是轉折點?

指定 dL/dx1等於零,我們人為的加入
一個限制條件,朗冠吉函數的自由度因而減一,
本例題,朗冠吉函數總共有六個自由度,由
A72式至A77式,我們指定六個等於零,
朗冠吉函數的自由度減為零,也就是得到唯一
答案。

解A72式至A77式是簡單的計算,請讀者
動筆算一算。
答案應該是
x1 = 1.8
y1 = 0.6
x2 = 1.0
y2 = 1.0
λ1 = 0.8
λ2 =-0.8

下面是答案圖,紅線為最短距離。

94,01,28,16,16止

自由人數理自修網頁 http://freeman2.com/tutc0001.htm
自由人主頁     http://freeman2.com/freeman1.htm
自由人音樂站    http://freeman2.net/listfnet.htm
自由人鄧麗君網站  http://freeman2.us/indexdlj.htm

94,02,09,15,47始
數學符號、
任何統一碼圖形、
任何統一碼文字、
一網打盡,
免費電腦程式,自動產生
統一碼十進位內碼、文字
對照表。歡迎下載。
http://freeman2.com/htm_char.zip

解多項式根。歡迎下載。
http://freeman2.com/rootc.zip
94,02,09,15,55止

以下是二十首鄧麗君錄像歌曲,歡迎下載


http://freeman2.net/dlj_0111.wma


何日君再來
1,187,131 http://freeman2.us/dlju0001.zip

我一見你就笑
1,116,088 http://freeman2.us/dlju0002.zip

Everynight
2,560,279 http://freeman2.us/dlju0003.zip

千言萬語
3,579,334 http://freeman2.us/dlju0004.zip

處處聞啼鳥
4,142,667 http://freeman2.us/dlju0005.zip

小城故事
4,230,799 http://freeman2.us/dlju0006.zip

心中喜歡就說愛
4,218,628 http://freeman2.us/dlju0007.zip

我怎能離開你(彩雲曲)
4,879,395 http://freeman2.us/dlju0008.zip

梅花(小銀幕)
5,105,916 http://freeman2.us/dlju0009.zip

甜蜜蜜
5,856,853 http://freeman2.us/dlju0010.zip

海韻
6,283,159 http://freeman2.us/dlju0011.zip

戲鳳
7,569,815 http://freeman2.us/dlju0012.zip

虞美人(幾多愁)
9,065,337 http://freeman2.us/dlju0013.zip

謝謝你常記得我
17,479,084 http://freeman2.us/dljv0001.zip

你在我心中
17,840,635 http://freeman2.us/dljv0009.zip

漫步人生路
22,460,839 http://freeman2.us/dljv0021.zip

梅花(大銀幕)
17,955,337 http://freeman2.us/dljv0044.zip

祖母的話
15,188,962 http://freeman2.us/dljv0051.zip

路邊的野花不要採
14,263,325 http://freeman2.us/dljv0056.zip

中華民國頌
15,602,195 http://freeman2.us/dljv0060.zip

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