要知道1^n+2^n+3^n...+x^n 只需知道之前(n-1)次,(n-2)次... n種次數和的公式解
例如,你想知1^3+2^3+3^3...(n-1)^3+n^3=? 則(n+1)^4-n^4=4(n^3)+6(n^2)+4n+1 n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1 .... 3^4-2^4=4(2^3)+6(2^2)+4(2)+1 2^4-1^4=4(1^3)+6(1^2)+4(1)+1
左式全部相加=右式全部相加 (n+1)^4-1=4(n^3+..+1^3)+6(n^2+..+1^2)+4(n+..1)+n
4(1^3+2^3+...(n-1)^3+n^3) =(n+1)^4-6(n^2+..+1^2)-4(n+..1)-n-1 =(n+1)^4-6n(n+1)(2n+1)/6-4n(n+1)/2-n-1 =(n+1)[(n+1)^3-2n^2-n-2n-1] =(n+1)[n+1)^3-2n(n+1)-(n+1)] =(n+1)^2[(n+1)^2-2n-1] =n^2(n+1)^2 最後 4(1^3+2^3+...(n-1)^3+n^3)=n^2(n+1)^2 1^3+2^3+...(n-1)^3+n^3=n^2(n+1)^2/4 只要運用二項式定理,其除所有的次也可找出來
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