請問大家對全國奧林匹克數學競賽的看法與參賽經驗

虧我還拿二等獎......感覺怪怪的

越來越失望
.......
只要錢...........

您可能誤解Frog網友的本意，他應該沒有為主辦單位辯護的意思。

國內的數學競賽愈來愈氾濫了，除了原有一些較知名的競賽外，又多了釵h私立學校或補習班為招生宣傳而辦的比賽。
由於太氾濫了，一些較不具公信力或以盈利為主之數學競賽由於考生太少或考生程度太差，最近紛紛傳出一些荒謬的情事來。
(1)初賽比完後還可以再報名參加決賽或取消初賽直接決賽。(有失公平)
(2)明明是兩年一次的比賽還硬要宣稱有一年是精英賽。(有違誠信)
(3)宣稱競賽成績可用來申請大學。(任何優異表現都可作為申請大學之佐證，並不限數學競賽。在IMO得牌都不一定進得了名校，更何況此類競賽。)
(4)過度宣揚考生之成就。(釵h考生本來就非常優秀，並非參加此競賽才變得優秀。滿分多並非台灣的數學教育辦得好，而是其他參加國的學生數學能力太差，及大陸的學生都是直接用未經翻譯的英文題本作答。)

迷信廣告宣傳並無益於學童數學能力之增長，參加各類數學競賽應以學童的興趣為優先考量。

　　久不聞台灣經濟奇蹟，但屢見創造了數學驚奇．現在我又來老調重彈，我的話你們還信嗎？

　　2008年台灣學子在美國AMC10數學競賽中滿分人數創下新高，在全球47位滿分中台灣佔了26名，眾人喜孜孜的表情用力一按，或酗ㄓ@定擠得出油來，但起碼能反射出刺眼的肌膚光澤，學生們暗地叫爽，直說題目靈活生活化，默認升級達高一程度，真是佛心來的：不可說．令人讚嘆台灣數學教育成央A征服了大半個地球．鐵證如山令人噤口．如此一來，國外的數學教育根本是"玩假的"．

　　對岸的吉林附中兩年前加入該競賽，該年四位AMC8滿分的學生被號稱"長春四小虎"，今年投入AMC10B和AMC12B，強調是高一和高三程度，也跟著說：題目不同一般思考．由於一律使用英文試卷，宣稱是"原汁原味"，參與人數小而美，競賽結果當然和台灣一樣，猛貼金光，光彩奪目．

　　果然不同一般思考．

　　我的小孩學習鋼琴的過程，隔一段時間就參加檢定，在家從未練習，每次都過關，後來我讓他不用學了，因為彈得有夠爛，徒有那些證書實在無用．我想問，如果看過做過今年AMC10試題的人，會覺得拿到滿分真的算是世界第一嗎？再想問問：你周圍那些數學高手有幾個人會參加這種考試呢？我敢說，別說在美國，即使在台灣，釵h數學高手在他的求學生涯中，一次也不會參加．過了AMC8就有國二程度，過了AMC10就跳級高一，AMC12考得好，準備讀大學，跟鋼琴或英文檢定一樣，盲目用競賽結果來定位化階段化自己的努力方向，是錯誤的．

　　台灣釵h優秀的學生，走相同的路，從小藉各類競賽不停的練兵量測實力，從未認真比較各類競賽之優劣，一路搶搭就讀資優班，高中以後參加各種數學，物理，化學，生物，地科，資訊，力學競賽，找最拿手有嬴面的兩項來押寶，一位國中奧賽得獎的學生，在高中後歷經挫折，至高三剩下的希望也告破滅，最後只能接受指考．這樣的事每年不斷地重演，大家奮鬥一樣的方向，就等於沒有方向，這不是資優教育，這是資優生價值肯定被規格化，成為簡單的公式．

　　AMC是啥？部落格裏有學生稱它為A Miserable Comedy.自欺欺人的皆大歡喜．它讓學生暗爽在心裏，前仆後繼列隊前進，得了便宜好好賣弄一番，至少在兩岸達到共識．全球的共同巿場，說穿了是咱們的巿場．雖然參加的學生不乏傑出者，但結果一出，無法阻止學生和家長們的無限遐想，如果是一位國小生AMC8拿到滿分，家長在神魂甫定之後，深情看了自己的愛子愛女一眼，暗自期許往後美景，立定志向：兒呀！從此後老子老娘的命運將與你衛星同步，榮辱與共．

　　仔細一看，有點怪．

　　2006年度AMC12協辦單位分析，該年試題難度比前兩年高，預估參加進階測驗的相對分數會略降．結果卻是：該年AMC12平均分數85.7，為歷年之最．取得AIME資格人數也變成前一年的兩倍．2008年亦強調比往年更難，事實又相反，果然台灣學生逆轉勝．

　　報載2008年台灣成績為八年來最佳，證實台灣學生數學實力根基穩定．可不是2001年時AMC10全球滿分人數32人中台灣佔了18位，2003年AMC10滿分30人中台灣有23人，該年就超越75%，遠比今年的55%(26/47)強．難道我記得的事只是以前做過的一個夢？世界顛倒的太快了！事實上，按2003年水準，今年滿分人數理應再增加34位，總數應有60位，而這34位事實上是存在的，我們可由今年跳級報考AMC12成績在120以上者剛好是34位即可判定，若這些學生參加AMC10，比例將改成60/81，與2003年相當．

　　我們可以判定的是，隨著教改簡易化後學生成績大幅滑落，近年來逐年加回往年的課程內容，直至今年國中基測首度將二次函數重新列入範圍，因此AMC競賽成績總算回穩往日水準，學生的表現和課程內容的難易顯然有因果關係，但是否就可判定往後大學之後仍維持優勢，實待商榷．一個很簡單的追蹤，只要問問那些2003年台灣取得滿分，目前就讀大三的學生，是否自認當年勇至今是否仍維持優勢，即可分曉．

　　我們的數學強，那麼在八年前就強過了，今年只是回到當年，莫非當年沒爽夠，今年再爽一次？再幾年下來！當我們滿分人數達百分之九十時，該如何自處？不用加入聯合國了！反正就我們這一國，AMC已改成TMC．禍闖大了，日後如何善後．孩子長大成人，重新交代：以前的不算數，咱們得重新來過．

　　再比較2008年美國各洲AMC10和AMC12的平均成績，明顯發現AMC12成績優於AMC10，以加洲和紐約來看，兩者報考人數與台灣接近，但其AMC12的成績普遍比AMC10的成績高十分．但台灣剛好相反，AMC10的成績比AMC12高了七分．其間落差17分，代表美國中學數學教育似乎成打ㄙ@了學生的程度．這種情形也出現在歷年的成績差距比較結果，換句話說，台灣的成績是AMC8 > AMC10 > AMC12，而美國是AMC12 > AMC10 > AMC8．台灣一位小學生每天糊里糊塗，接觸數學所費的時間不多，參加這個AMC競賽，表現卻屬於後者，全球PR值是AMC8:38.32% < AMC10:77.25% < AMC12:93.49%，換算成優勝率，呈公比等於5的等比級數．

　　這個等比級數的成長，與歷屆AMC8滿分得主及一般表現較穩定的學生日後表現比較，並不意外，但是，反映一個事實，小學生六年來總共才涉獵兩本課外書以及從九章網站找到的一些零星的數學題目，未曾演練過國內各類競賽和AMC的考古題型，卻不見得吃虧，足見過度注重此類競賽，可能"白忙一場"，這原本是一件隨著學習的成長和成熟自然可以水到渠成的事，無須刻意去拼成績．

　　如果沒有錯的話，台灣今年AMC12兩位滿分得主都是高中以後才參賽，反觀當年2003年AMC8滿分者雖然穩定成長，但相比之下並不算頂尖表現，美國今年九位AMC12滿分得主中有四人是連續兩年滿分，四人均為華人，可見華人社會傳統注重考試表現的觀念已根深柢固，另外，今年有四位美國學生曾在2003年AMC8滿分，參賽當年均為8年級學生，或酗ㄜY台灣學生年紀小成就高，但日後表現亮眼，VA的Brian Hamrick從8年級開始參賽，今年第三年在10年級即獲得AMC12滿分．

　　台灣學生的高水準，就是在特別有利這項測驗的培養過程所產生的水平，這說明了什麼？說明了學生的可塑性，你餵食什麼就長成什麼模樣，在不同的教育環境下自然會產生差距，但這個量尺用來量美國學生，也用來量台灣學生，出現了一個可靠性．那就是：一旦在大學或往後的教育環境差異下，自然也會產生可預測的結果．那是怎樣的結果呢？如果我們合理推測台灣的數學程度是因為從小的教育環境使然，那麼往後的教育制度，環境，學習態度也就是將來檢驗的基礎．

　　美國的AMC數學競賽，與澳洲AMC競賽比較起來，有下列的缺失．

1.號稱全球同步，其實台灣歷年來考試日期均較美國晚了五天，這五天當中，AMC主辦單位只是公開要求大家不要上維基或在網路上公開討論試題，除此之外，沒有有效措施切實做到百分百試題不外漏．

2.題目的難易不同，但每題答對均給6分，有些題目花了三十分鐘才解出來，好不容易得到的6分，怎樣也抵不過粗心大意錯個幾題簡單的題目，這和澳洲AMC由易至難，前十題每題3分，中間每題4分，最後十題每題5分，而最後五題是非選擇題比較，顯然後者較為合理．

3.2003年和2007年報考AMC12的人數相當，結果前者通過AIME入試資格的人數是後者的兩倍，2006年和2008年報考AMC12的人數也差不多，結果前者AIME的人數居然比後者的三倍還多，這明顯看出，AMC的標準不一．

4.從全球報名人數中明顯看出這項競賽充滿投機，例如2007年因給分標準改變，造成2008年改報考AMC10B和AMC12B的人數增加，同時有部分高一以下想挑戰AMC12的考生今年改考AMC10，這些微妙的變化可由歷年結果對次年所造成的影響看出，部分考生根本就是心存投機，將之視為押寶投注的遊戲．美國學生可以考兩次，由(AMC10A，AMC12A)，(AMC10B，AMC12B)各選一次來搭配．在美國申請大學或莧MC成績有其客觀參考價值，但台灣採學測和指考，也有其評估的弁遄A應該在學測和指考獲得好成績後，此類測驗的分數才有參考價值，如果差距太大，仍不可據此獲得實力證明．

5.這個競賽本身，是可以用技術操作得到較佳成績的，例如考AMC12你可以好好把握十二題基本題，再認真把握兩題中間偏難的題目，加上沒有作答的11題送分，那麼即可達到14*6+16.5=100.5，藉此達到AIME門檻．

6.近年來AMC的題目在深度上不若往年，在中度題目上有釵h熟悉的題型讓人更容易把握，在難題部分，也讓學生取得滿分可能性增加，對擅長考試的學生，取得高分變成一個可努力奮鬥的目標，它已不再是個令人敬畏的測驗，它讓人感到失望．

　　只是這些缺失在台灣並未被強調，大部分的學生用來取得具備連跳數級的實力證明，而大多數的家長也這麼認為．學校老師可能不這麼想，但在學校的榮譽榜上仍然高高掛起．


　　所以，問題不在這個競賽所呈現的表現優勢，我們已從美國與台灣AMC10，AMC12之間的差距看出， 這個優勢明顯被追趕上來，觀念在於雙方要不要認同採取同樣的教育方針，如果是相同的，那麼結果應當相當，否則談優劣之別，最後還要強調一下，是在那一個過程中的比較結果．

　　在化學反應過程中，操作步驟會影響結果，你在某個程序的反應時間，溫度，壓力，加入的添加劑可能造成不同的結果，包括產量，品質純化，衍生物．例如可能同時產生A和B兩種生成物，其中比例也因實驗條件而有不同．也就是說，如果我們要得到滿意的結果，每個過程都要細心操作，其中一項過程反應的時間不夠，操作程序的失當，並不能保證最後的品質．再者，最後功能俱全的產品，也未必是賣得出去的產品．設計一個遊戲程式也是如此，面面俱到的遊戲不一定是好玩的遊戲，應當顧慮玩家的感受，將遊戲功能慢慢釋放出來．

　　美國AMC數學，大家都說它題目很活，很生活化，其實背地暗藏更靈活更生活化的是這一題，解開後令人心裏有點難過，但完全的自信必須靠認識真相來建立，因為這一題，沒有人想去解開，解開這一題的人姓白名目，不想解開的這一題的人名叫莊糊塗，努力地保守這個秘密，貪婪地享受這個榮耀，樂不可支．被競賽結果沖昏了頭的家長學生們，碰到這一題，採用掩耳盜鈴的方式，繼續保持戰果．

　　聰明的資優生們，人手一個魔術方塊，幾十秒鐘快速破解．人人應當領略當中奧祕，當你想要成功轉成六面同色時，過程不是一面一面解，而是一層一層解．當你只想先快速完成一面同色時，證明是失敗的開始，那勢必砍掉重練．

　　不去接受真相，就別高興得太早．

　　讀高三的阿信換了新機車，把舊的機車送給了神豬，神豬騎到馬路狂飆，經過王過失的家時，大聲叫他出來，王過失從二樓窗戶探出頭來：喂！搞什麼東東？說完連忙關上窗，假裝不認識他．由於個子太小明顯招人側目，在路邊釵h媽媽趕緊把自己的小孩的手拉緊，一位老婆婆出來喊了一句：囝仔郎騎啥米黑吐醜！路邊有一群國中生大聲起鬨：弟弟勇哦！

　　神豬則是一路笑個不停．第二天王過失騎腳踏車過來專程載他去網咖，然後丟下一句：四小時後再過來載你回家，可憐哦！連輛腳踏車沒有．

　　雖然六年來未曾坐上書桌片刻，今日卻不同往日，力量早已不相同．小二後就很少在大小考試拿滿分的他這學期簡直又再脫胎換骨一次，每天放學回來往地上一滾，得意說到今天又拿了幾張滿分，常常幾乎都是滿分，別人說高興一天就好，但神豬對勝負成敗感覺在三十秒立刻忘得一乾二淨．反觀週遭的同學反而退後，你很難體會在勇敢冒險後得到的喜悅成果，這個等待，花了六年來證明，但這六年來，我是怪獸，他是怪物，周遭的人沒有百分之一的人認同．

　　原本，我打算上國中之後，讓他開始上緊發條，學習過"正常"學生的生活．現在看來，不用了．

　　因為，很多事過去沒有做，現在想來，根本也不用做了．可是，太好了，及早做好決定，我們已經有更多的時間做更多好玩的事了．

　　美國AMC考試，害慘了我一位學弟的小孩，我的學弟在國中教理化，他的孩子在小六時參加AMC8，對了9題，看了報上一堆滿分學生的報導，幾年下來，嚇得不敢再參加校外數學競賽．他也害慘了一位同事的女兒，當年AMC12得了資優證書，參加AIME，大學甄試時教授問她為什麼學測數學考差，她一時不知道該說什麼好．

　　這個測驗最後的結果是成績往上比，年紀往下比，今年AMC10因為滿分太多了，先找幾位滿分的國二生報導一下，於是國三生和高中生即使滿分都有點"勝之不武"，因為感覺上"好像和國二生差不多"，整個光榮感突然被往下拉，照這麽看來，2001年時有小四生AMC10考120，2007年同樣有小四生考了135，那麽可能又要令人沮喪了，因為，考滿分快要變成"小五生"了．

　　這個競賽因著媒體炒作而將故事變成童話，接下來不知何時變成了笑不出來的笑話．我仔細查了一下，不管小學生再怎麼靈光，有專人指導，努力為競賽做準備，考出來的分數頂多比每天醉生夢死的神豬好一點點，為什麼不試試看和神豬一樣，無憂無慮，說不定結果都是相同的．

　　然而，背負了"資優生"，"滿分得主"的榮耀, 有一天光環不再時, 這個榮耀反而會變成謀殺自己的凶器．因為你可以從歷史紀錄中尋找到那些每年都參加的學生歷年表現，看出一個變化的軌跡．

　　若是2007年美國AMC10考127.5的學生，PR值約98.87，換算成優勝率為87.5，則2008年再考一次，其優勝率乘於5約等於438，則該年之PR值約438/439=99.77，則該名考生在第二年分數推估應可滿分．在正常學習情況下，幾乎可以推估往後幾年的表現．

　　這樣說來，究竟在搞什麽？這個考試有什麼意義呢？

　　這就是我強調這類考試所反映出的事實，本身的意義就是在描述一個成長曲線，而不在於學習表現．如果你違反以上神豬定律，也毋須緊張，除非你怠惰退後，或者一開始就不是正常的表現，否則平常心去參加，最後其實都會經過微調，得到相同的結果．一個學生只要腳踏實地過日子，長大長高後自然就可達到預期的成果，過度的努力追求可能毫無建樹，對於可以預估的結果，實在沒有每役必與的必要性，跟你一樣情況的同學，都在均同的機會下成長，這些你取得的榮耀，本身也在那些同學身上發光．

　　一些理解搞通的問題，如果沒有加強演練，當然在考試時會吃點虧，沒有見識過各種題型，只憑基本能力，當然比較吃力，但在最不利的情況下，正可獲得最有用的評估，在自由成長的環境下用健康正常的心態面對，這樣的評估才能幫助我們建立了自信，也告訴我們，這些競賽的迷思與盲點，值得我們去重視．

　　不是拿高分的學生才是優秀的學生，有些人對數學原本就喜歡用心花更多的時間去理解演練，太短的時間要來正確解出過多的題目原本就不利於思考．選擇題不能幫助我們選擇，證明題卻能幫助我們證明，證明才是數學中最靈活最生活化的題型，神豬用他自己的模式混了六年，從小二起就幾乎在大小考試中從未有滿分的記錄，有些家長求神問卜，花很多時間去了解不能得滿分的原因，總會怪罪到考運不佳，粗心大意，過敏性鼻炎等等理由，然而，真正的理由在於本身的體質，這個體質從小就要改善，調整這個體質，就是要懂得放鬆學習，對考試結果的心理放鬆，對於競賽的魔法有正確的理解．

　　我採用的放鬆原則很簡單，考試第一名三百元，第二名二百元，第三名一百元，倒數前十名五百元，最後一名一千元．鐵頭聽說最後一名有一千元可拿，想認我當他的乾爹，被我斷然拒絕，他小一到小六每次考試都是倒數第一，算一算代價太大了．聰明的神豬常常選擇得到倒數前十名的五百元，例如，當標準是97.5時，他選擇考96分．選擇題他當成證明題來做，證明自己的選擇，我為他感到驕傲．

　　我看到九章的澳洲AMC，環球城巿競賽，小學競賽選拔，內心都有一些感動，從題目和閱卷的用心，錄取的比例與敘獎的原則，看到了對於學生的真心關懷與鼓勵，特別是涉及選拔國手的過程，效率驚人，也用心兼顧到避免遺珠之憾，在第一時間內公佈，完全讓人沒有乘虛關說的餘地．聰明的家長們應用心去體會其間優劣差別，杮子，別總是挑軟的來吃．

　　台灣學生的數學若真是最好的，那麼，九章的數學就是當中最棒的，繞了一大段遠路最後還是得來九章掛號，所以，我一時忍不住，說了以上這些話．

給神豬的兩道有獎徵答(我可代為評判對錯，獎金找您們自己的父母要，他們不給寫信告訴我，我替您要，要不到我給)，時間不限，直到有人在本網站給出正確答案為止：

1. 有n位賭客與一位莊家對賭，遊戲規則如下：賭客每次每人各投注1元，每一位賭客面前各有標記1、2、3、…、10、11、12的十二張牌（號碼朝下使賭客看不見號碼），賭客任抽一張給莊家，賭客不可以看自己牌上的號碼，而莊家則依照賭客所抽牌上的號碼拿一頂貼有此號碼的帽子戴在賭客的頭上，賭客可看見所有其他人帽子上的號碼，但看不見他們自己帽子上的號碼。在每位賭客面前都有三個按鈕：奇數、偶數及PASS不猜，每位賭客可自由選擇猜自己的牌是奇數或偶數，也可以選擇PASS不猜。賭客之間彼此不得互相交談，也不得知道別人猜什麼或不猜。如果三位賭客全按PASS不猜或有任一人猜錯，則沒收全部賭資；若至少有一位賭客猜，且猜的人全部都猜對，則莊家賠給每位賭客1元。請問這些賭客有沒有辦法在事先約定一個數學策略，使得他們獲勝的機會保證
(i)n=7, 不小於85%？（獎金200元） (ii)n=15, 不小於90%？（獎金300元）

(註：不得出現任何違反規則的動作如偷窺、偷傳信號等，必須給出正確策略並證明此策略符合要求)

2. 觀眾將n枚硬幣放在桌面上排成一列，每一枚硬幣朝上或朝下可隨觀眾喜好放置。觀眾也同時任意選1至n中的一個正整數，輕聲告訴魔術師的助手，接著魔術師的助手只能恰好選擇桌面上的一個硬幣將它翻面。魔術師不知道助手翻的是哪一個硬幣，但看一看桌面上的硬幣，竟能準確地猜出觀眾所選的數。請問魔術師與助手事先約定什麼數學策略，使得魔術師能萬無一失地猜中？
(i)n=8（獎金300元） (ii)n=16（獎金500元）

(註：不得出現任何違反規則的舉止，必須給出魔術師與助手之間約定的正確策略並證明此策略符合要求)

兩題都是從這次小學的題目改的吧?
好像少改一個地方
"請問這三位賭客有沒有辦法在事先約定一個數學策略",應該是這n位

謝謝指正，已經更正。
雖然只改動n值，但難度明顯不同。

　　今天放學回來，我告訴他第二題，唬爛他說：這一題是全世界好幾億的人，花了幾個月都想不出來的題目．想出來給你一千元．可笑的是，他居然相信了，只見他立即眼露兇光，拿起幾顆象棋玩了起來，過了一會兒出去飆車，回來後自信滿滿，立志當老千．

　　他開始將它設計成遊戲，晚餐時找我當助手騙他老母．

　　我老了，這種屬於活力旺盛年輕人的遊戲，只能在旁搖旗吶喊，當啦啦隊．

　　看得見做得到的是學校末牷A那看不見方法，找不到方向的是尋找奇蹟．

n=7我只做到(12.5)/16,再試試其他方法,果然不容易啊!

　　我覺得你是少數能堅持努力去研究這些題目的優秀學生，最早引進數學競賽的九章，總是維持一貫宗旨，釵h題目都具有深具啟發性，開拓數學新眼光與思維，如果你能常常把它放在心上，將來一定成就不凡．

　　每個人對於難題處理有各種情形，有人擱置，有人尋求幫助，有人藉此調整自己的學習，有人可以突破，有的人一輩子解不出來，停留在競賽結果的思維，只是在"留級制度"中做優劣比對，沒有真正資優跳級到應面對的層次．

　　任何難題都是建立在合理嚴密的邏輯思維，新穎創新的解題方法，絕非僅靠靈感與直覺．所有的靈感產生在快速反應和不斷的修正過程中，在解題過程中可以找出自己需要加強的能力，例如驗證各種方法可行性時，要確定百分百正確無誤，對解題者和閱卷者都是一大挑戰，在欠缺其他相關能力時，並無法突破瓶頸，如果能進一步意識到這個問題，對學習方向必然有很大的提升與引導．例如第二題中，n=8有256種初始情況，每種情況產生8種不同結果，就2048種變化一一驗證時，可以將0~255的數字轉成二進位的八位數字，就產生結果進行驗證，如此才能因應各種不同方法的可行性做快速有效的評估．否則當你僅能確定自己的方法可行，卻又不能找出別人方法的錯誤，還是不夠完整解題．

　　看到你的努力，真是做為長輩的我們心中的快樂．

這幾天又把題目翻出來看

仔細想了想

總算想出一個n=7,13/16=0.8125的方法

可是好像還差了一點

請把作法寫出讓大家替您檢驗。

作法大致如此

先把全部分成3堆(3.3.1)之情況

在第一堆中若全為偶數或奇數我們視為A,非前述情況視為B

在第二堆中若全為偶數或奇數我們視為B,非前述情況視為A

在第三堆偶為A,奇為B

方法為不看自己堆,看另外2堆,若相同則猜自己為另外一種情形(如另2堆皆為A,則猜自己為B),若相異則自己堆皆不猜

共有8種情形

但僅在2種情況下無法猜出,即(A.A.A)和(B.B.B)之情形,出現的機率皆為(1/4)(3/4)(1/2)

而在另外6種情況中一定為2同1異之情形

用上面的方法做

(以下只舉一種情形說明)

若出現(A.B.A)之情形

顯然此時僅有第二堆會作答

而第二堆因為先前的定義

會猜三個人皆為同奇或同偶

故每個人皆猜對

所以無論如何

只要不是在三堆皆相同之情形下

在猜了自己為A或B的情形下皆有辦法猜對

其他情況皆一樣

故機率為1-(1/4)(3/4)(1/2)*2=13/16=0.8125

不太好講

大家討論看看吧

當判斷第一堆要猜B，第二堆要猜A時，要猜奇數還是偶數？

引用：

孫文先 寫道:
當判斷第一堆要猜B，第二堆要猜A時，要猜奇數還是偶數？

不太明白您所問的問題

但每一次只有一堆會作答(除AAA和BBB的情況外)

即其他堆都會選擇PASS

第一題可否說明:答題者是莊家指定或n人自行決定?

第二題
1. 設F(x)=Ax7＋Bx6＋Cx5＋Dx4＋Ex3＋Fx2＋Gx＋H1,(數字為次方),其中A至H屬於{1,-1}(即正面,反面)
2. F(i)之值屬於{0,2,-2,4,-4}+{0,2i,-2i,4i,-4i}
於是F(i)是一個結合俱封閉性的交換群
3. 對於任意Fs(x)中,1<=s<=256,規定Ft(x)為其置換其中一項後的結果,Ft(x)有8個相異於Fs(x)的表達,且Ft(i)之值仍俱封閉性與相異性,使得本題可解

茲以四枚AaBbCcDd為例,(大寫正面,小寫反面),規定正面表示係數1,反面係數-1,依題意俱有次序性,佐以說明:
設F(x)=Ax3+Bx2+Cx+D1,代入i
ABCD=0
ABCd=-2
ABcD=-2i
AbCD=2
aBCD=2i
ABcd=-2i-2
AbCd=0
AbcD=-2i+2
aBCd=2i-2
aBcD=0
abCD=2i+2
Abcd=-2i
aBcd=-2
abCd=2i
abcD=2
abcd=0
約定:魔術師(心算一定不錯)
1.4正,4反得0或3正得2或3反得-2,代表[1號硬幣];
2.相異得0或3正得-2或3反得2,代表[2號硬幣];
3. 三正得2i或3反得-2i或複數同號,代表[3號硬幣];
4. 3正得-2i或3負得2i或複數異號代表[4號硬幣]
(一定可以調整出來,而不受制於桌面)

EX1:當桌面是ABcD時,助手要表達
1,用ABCD
2,用aBcD
3,用ABcd
4,用AbcD

EX2:當桌面是ABcd時,助手要表達
1,用aBcd
2,用ABCd
3,用Abcd
4,用ABcD

困難在於約定的互補性!
此題應不受限於硬幣個數

請再仔細看一下題目

第一題
每位賭客可自由選擇猜自己的牌是奇數或偶數，也可以選擇PASS不猜。賭客之間彼此不得互相交談，也不得知道別人猜什麼或不猜。


第二題
觀眾將n枚硬幣放在桌面上排成一列，每一枚硬幣朝上或朝下可隨觀眾喜好放置。觀眾也同時任意選1至n中的一個正整數，輕聲告訴魔術師的助手，接著魔術師的助手只能恰好選擇桌面上的一個硬幣將它翻面。魔術師不知道助手翻的是哪一個硬幣，但看一看桌面上的硬幣，竟能準確地猜出觀眾所選的數。請問魔術師與助手事先約定什麼數學策略，使得魔術師能萬無一失地猜中？

1. 觀眾將n枚硬幣放在桌面上排成一列，每一枚硬幣朝上或朝下可隨觀眾喜好放置。
2. 觀眾也同時任意選1至n中的一個正整數，輕聲告訴魔術師的助手。
3. 接著魔術師的助手只能恰好選擇桌面上的一個硬幣將它翻面。

不光只是猜數字而已，請用您的方法舉例說明。

n=8時以出現正面硬幣位置標記，例如：00xxxxxx，記為A12
取16個2*2的方陣由左上角順時針標註abab,cdcd,efef,ghgh各四組，記為A,B,C,D
重覆上述方法組合ABAB，CDCD各兩組4*4方陣，記為M,N，
再重覆操作一次，由左上角順時針繡mMNMN成8*8方陣如下：
abcdefgh
badcfehg　
cdabghef
dcbahgfe
efghabcd
fehgbadc　
ghefcdab
hgfedcba
以上各行各列均含a,b,c,d,e,f,g,h且成對稱方陣
設a,b,c,d,e,f,g,h代表相異數字，其所在位置以Aij表示
由上可知A12=A21=b
利用上述表示當第1,2硬幣為正面，其餘均反面時，代表數字b
而A11=A22=.....A88=a，代表原本正面經再次翻面後全體硬幣均為反面的情形
如此可將硬幣出現兩枚正面的情形分類如下：
a:均為反面，b:12,34,56,78，c:13,24,57,68，d:14,23,58,67
e:15,26,37,48，f:16,25,38,47，g:17,28,35,46，h:18,27,36,45

1.無正面時，代表數字a
2.設僅出現一枚正面時，依位置1~8分別代表a~f等數字，出現兩枚時則依上述分類判斷
3.正面出現情形成對稱互補時代表同一數字，例如：1234=5678，12356=478
4.d:14,23,58,67代表14=23=58=67，則設再翻動第2面，結果為124=3=258=267
代表出現正面位置分別在(1,2,4),(3),(2,5,8),(2,6,7)四種不同情形時均代表數字c
5.以上述方法，若為2357出現正面，則2357=(23)(57)=(23)(13)=(12)=b
6.若為2357出現正面，依序翻動第1~8時產生以下八種情形
(12357,357,257,23457,237,23567,235,23578)
=(468,357,257,168,237,148,235,146)
=(b,a,d,c,f,e,h,g)

請注意：

觀眾隨意繕w幣並隨意給個數，接著助手必須恰好選擇桌面上的一個硬幣將它翻面，然後魔術師才猜數。

您並未說明各種情況及過程。
建議先由2, 4個硬幣作起。

僅單枚正面時，依位置排序分別設定1~8數字
雙枚或無正面時，設定如下：
1:均反面(或11~88)
2:12,34,56,78，3:13,24,57,68，4:14,23,58,67
5:15,26,37,48，6:16,25,38,47，7:17,28,35,46，8:18,27,36,45

1.
甲乙觀眾均排出ooxxxxox，甲取數字5，乙取數字8
ooxxxxox=127=1(27)=18=8
助手針對甲觀眾情形翻第4面，使成1274，魔術師可順利根據1274=84=(5)，猜出數字5
助手針對乙觀眾情形翻第1面，使成27，魔術師可順利根據27=(8)，猜出數字8

2.
甲，乙均取數字7，甲排出oooxxoxx，乙排出oxoxxxxx
甲：oooxxoxx=1236=(12)(36)=28=(7)，乙：oxoxxxxx=13=(3)
對甲助手翻第1面，使成236，魔術師根據236=(23)6=46=7，猜出數字7
對乙助手翻第5面，使成135，魔術師根據135=(13)5=35=7，猜出數字7

3.
設排出oxxxxxox，觀眾任意取數字1~8
oxxxxxox=17=(7)
由分類取出1:77，2:78，3:57，4:67，5:37，6:47，7:17，8:27
數字1~8時，助手分別翻第7,8,5,6,3,4,1,2面，魔術師均能輕易猜出數字．
其中1,7情形翻面後呈oxxxxxxx，xxxxxxox，依僅單枚正面設定即可立即看出．

將硬幣各種排列情形以二進位法表示，例如：xxxxoooo=15
依序由第1~8每次翻動一枚硬幣，出現的八種排列情形均可依上述原則判定數字

其結果如下：

0:12345678
1:87654321
2:78563412
3:21436587
4:65872143
5:34127856
6:43218765
7:56781234
8:56781234
9:43218765
10:34127856
11:65872143
12:21436587
13:78563412
14:87654321
15:12345678
16:43218765
17:56781234
18:65872143
19:34127856
20:78563412
21:21436587
22:12345678
23:87654321
24:87654321
25:12345678
26:21436587
27:78563412
28:34127856
29:65872143
30:56781234
31:43218765
32:34127856
33:65872143
34:56781234
35:43218765
36:87654321
37:12345678
38:21436587
39:78563412
40:78563412
41:21436587
42:12345678
43:87654321
44:43218765
45:56781234
46:65872143
47:34127856
48:21436587
49:78563412
50:87654321
51:12345678
52:56781234
53:43218765
54:34127856
55:65872143
56:65872143
57:34127856
58:43218765
59:56781234
60:12345678
61:87654321
62:78563412
63:21436587
64:21436587
65:78563412
66:87654321
67:12345678
68:56781234
69:43218765
70:34127856
71:65872143
72:65872143
73:34127856
74:43218765
75:56781234
76:12345678
77:87654321
78:78563412
79:21436587
80:34127856
81:65872143
82:56781234
83:43218765
84:87654321
85:12345678
86:21436587
87:78563412
88:78563412
89:21436587
90:12345678
91:87654321
92:43218765
93:56781234
94:65872143
95:34127856
96:43218765
97:56781234
98:65872143
99:34127856
100:78563412
101:21436587
102:12345678
103:87654321
104:87654321
105:12345678
106:21436587
107:78563412
108:34127856
109:65872143
110:56781234
111:43218765
112:12345678
113:87654321
114:78563412
115:21436587
116:65872143
117:34127856
118:43218765
119:56781234
120:56781234
121:43218765
122:34127856
123:65872143
124:21436587
125:78563412
126:87654321
127:12345678
128:12345678
129:87654321
130:78563412
131:21436587
132:65872143
133:34127856
134:43218765
135:56781234
136:56781234
137:43218765
138:34127856
139:65872143
140:21436587
141:78563412
142:87654321
143:12345678
144:43218765
145:56781234
146:65872143
147:34127856
148:78563412
149:21436587
150:12345678
151:87654321
152:87654321
153:12345678
154:21436587
155:78563412
156:34127856
157:65872143
158:56781234
159:43218765
160:34127856
161:65872143
162:56781234
163:43218765
164:87654321
165:12345678
166:21436587
167:78563412
168:78563412
169:21436587
170:12345678
171:87654321
172:43218765
173:56781234
174:65872143
175:34127856
176:21436587
177:78563412
178:87654321
179:12345678
180:56781234
181:43218765
182:34127856
183:65872143
184:65872143
185:34127856
186:43218765
187:56781234
188:12345678
189:87654321
190:78563412
191:21436587
192:21436587
193:78563412
194:87654321
195:12345678
196:56781234
197:43218765
198:34127856
199:65872143
200:65872143
201:34127856
202:43218765
203:56781234
204:12345678
205:87654321
206:78563412
207:21436587
208:34127856
209:65872143
210:56781234
211:43218765
212:87654321
213:12345678
214:21436587
215:78563412
216:78563412
217:21436587
218:12345678
219:87654321
220:43218765
221:56781234
222:65872143
223:34127856
224:43218765
225:56781234
226:65872143
227:34127856
228:78563412
229:21436587
230:12345678
231:87654321
232:87654321
233:12345678
234:21436587
235:78563412
236:34127856
237:65872143
238:56781234
239:43218765
240:12345678
241:87654321
242:78563412
243:21436587
244:65872143
245:34127856
246:43218765
247:56781234
248:56781234
249:43218765
250:34127856
251:65872143
252:21436587
253:78563412
254:87654321
255:12345678

2:12,34,56,78，3:13,24,57,68，4:14,23,58,67
5:15,26,37,48，6:16,25,38,47，7:17,28,35,46，8:18,27,36,45

出現多枚正面硬幣時可將其降至兩枚硬幣情形來判斷
例：12367=ooox|xoox，可將其對摺，若有兩對重疊時可抵消之
則12367=ooox|xoox=oxxxxxxx=(1)
或視12367=oooxxoox=xxxooxxo=458=(45)8=(8)8=(1)
在出現兩枚正面時並不需要特別記誦上述分類
魔術師在實際操作時依下述方法可以迅速判斷出數字
1.
(12,13,14,15,16,17,18)=(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8)

2.
13=24=(3)，此時1,3分別換成2,4，此時按1=2,3=4,5=6,7=8來成對互換
例如遇5換成6，遇8換成7，但兩個數字必須同時更換,則(24,23,26,25,28,27)=(13,14,15,16,17,18)=(3),(4),(5),(6),(7),(8)

3.
57=xxxx0x0x可翻面或逆序改成xoxoxxxx=24
(78,68,58,48,38,28)=(12,13,14,15,16,17)=(2),(3),(4),(5),(6),(7)
而(57,67,37,47)逆序成(24,23,26,25)再置換成(13,14,15,16)=(3),(4),(5),(6)
又56=34=12=(2)，因此遇數字較大時可依上述方法先降至數字較小而輕易判斷出來

4.
餘35,46,36,45，而46可逆序或置換成35=(7)，同理45=36=(8)
其中(36,45)此組均為9的倍數，可用來區分，而35為7的倍數，亦容易分辨
如此出現兩枚正面的28種情形均可快速判斷出來

助手在翻面時亦按照上述方法

我是大陆的一名家长，不知道是否可以在这里发表我的看法。希望大家不要觉得扫兴。

我的孩子现在上高二。他从初三开始参加全国数学竞赛。初中的时候是全国金牌。高一继续参加，是铜牌，高二，银牌。高一这一年，他学得非常努力，从实力上来说。他很不错的（在2008年中国西部数学竞赛上拿了金牌）。但是联赛他考得不理想。他备考联赛乃至他高一进行数学学习的整个过程，我都陪伴在左右，虽然我是学中文的，无法理解深奥的数学问题。但是我能从教育学的角度，对孩子的联赛失利以及数学学习中的问题，进行归纳总结。我希望未来这两天，我能有空把它们写下来。或许对各位家长有所帮助。

就我聽到的一些傳聞，大陸的高中聯賽由於涉及保送大學及高考加分，釵h省都曾發生不公平事件，據悉現在的主管單位正謀求改進。
我一向建議要用個人熱愛數學的態度與興趣參加各類數學競賽，而不是為贏取升學的捷徑。

找個人實際操作幾次您就會發現困難及問題所在。

1. 有n位賭客與一位莊家對賭..........

用翻硬幣模式來思考，n=7時，每位賭客設未知數A，預設1影子賭客B排序第8，使得n=8
賭客任抽一張非奇數即偶數，偶數可視為硬幣正面，奇數可視為硬幣反面
設七位賭客情形依序排列為ooxoxxx，
將編號1~7賭客所見情形設為
AoxoxxxB,oAxoxxxB,ooAoxxxB,ooxAxxxB,ooxoAxxB,ooxoxAxB,ooxoxxAB(A為本身未知)
則每位賭客所見情形恰為ooxoxxxB依序遮住第1~7枚硬幣所見情形

設AB=xx
則賭客各就(xoxoxxxx,oxxoxxxx,ooxoxxxx,ooxxxxxx,ooxoxxxx,ooxoxxxx,ooxoxxxx)
=(24,13,124,12,124,124,124)=(3,3,3,2,3,3,3)其中第3位賭客所得數字恰為自身編號

設AB=oo，
則賭客各就(ooxoxxxo,ooxoxxxo,ooooxxxo,ooxoxxxo,ooxooxxo,ooxoxoxo,ooxoxxoo)
=(1248,1248,12348,1248,12458,12468,12478)=(6,6,8,6,2,1,4)
其中無人所得數字與自身編號同

若賭客就AB=xx或00得到恰為自身編號，則就原設定AB=xx或oo猜自己是x(奇數)或o(偶數)
但若以AB=xx和oo皆得自身編號，則選擇PASS

如此在128種情形中至少有一人可猜且猜中的情形共104種
104/128=81.25%

猜中機率應該有其他策略可以更高。(我並未驗證您的策略是否正確)

2:12,34,56,78，3:13,24,57,68，4:14,23,58,67
5:15,26,37,48，6:16,25,38,47，7:17,28,35,46，8:18,27,36,45

有關硬幣問題中助手與魔術師實際操作時，可得一簡單做法如下：

1.
出現兩枚正面硬幣位置分為(1,2,3,4,1,2,3,....)及(5,6,7,8,5,6,7.....)循環
兩數相加等於偶數時，變換時同時往下一數字或同時回到前一數字，
相加等於奇數時，方向相反，其中一數前往下個數字時，則另一數回到上一個數字
例如：
38相加等於奇數，則38=47=16=25=(6)
46相加等於偶數，則46=17=28=35=(7)

2.
兩數均取自1~4其中兩數時,等於另兩個數字組合：12=34,14=23,13=24
兩數均取自5~8其中兩數時,等於99減掉該二位數的餘數：
例如57=99-57=42，68=31，58=41，67=32

3.
當硬幣出現正面位置為12358時
1可省略，以2358來考慮，2358=2341=2323(互相抵消)=(1)

再進一步簡化如下：

助手和魔術師將所見排列情形在腦中默想

當兩枚正面硬幣間隔為奇數時，

1~4依(1,2,3,4,1,2,3...)循環，5~8依(5,6,7,8,5,6,7....)循環同時往中間或同時往兩邊推
當兩枚正面硬幣間隔為偶數時，
兩枚硬幣同時依循環同時往左或往右移動
右邊一枚推至1時可視為自動翻為反面
當硬幣出現正面位置為12358時，視為2358
1.
2358:(23)往兩邊推成(14)=4，成458，再將(45)往中線推擠成(18)=8，458成188=(1)
2.
2358:(28)同時往右移成17，2358成357，35同時往左移兩步成17，357成177=(1)

比較困難是助手部份,要將原排列情形先在腦中判斷後再決定翻動其中一枚硬幣,但操作幾次後即可順手

賭客一題修正如下：
以o代表偶數，x代表奇數
設七位賭客情形依序排列為ooxoxxx，在末尾加上x，使n=8成ooxoxxxx
將其排列情形可代換成硬幣數字編碼
七位賭客奇偶情形依序為a,b,c,d,e,f,g
b所見情形為obxoxxx，將其設為oxxoxxx和xbxxxxx所組成
設前者排列代表數字B，後者代表數字B'
則各依所見情形，必有AA'=BB'=CC'=DD'=EE'=FF'=GG'=k
將a分別以x,o代入得到兩個結果
aoxoxxxx=(xoxoxxxx)(axxxxxxx)，k=(31,31)=(3,3)
obxoxxxx=(oxxoxxxx)(xbxxxxxx)，k=(31,42)=(4,3)
oocoxxxx=(ooxoxxxx)(xxcxxxxx)，k=(31,33)=(3,1)
ooxdxxxx=(ooxxxxxx)(xxxdxxxx)，k=(21,24)=(2,3)
ooxoexxx=(oox0xxxx)(xxxxexxx)，k=(31,35)=(3,7)
ooxoxfxx=(ooxoxxxx)(xxxxxfxx)，k=(31,36)=(3,8)
ooxoxxgx=(ooxoxxxx)(xxxxxxgx)，k=(31,37)=(3,5)
由上可知每位均至少得到k的一個正確值
其中a可保證確知k值，但無法得知自己為o或x，亦無法將結果告知其他賭客
a~g編號第n個得到k=(n,1)或(1,n)，其中n > 1
則分別以前者k=n判斷出真正排列情形
則賭客據以推算自己為x(奇數)或o(偶數)
k=1~8時，各個k值分別產生128/8=16種排列情形
k=2~7時，僅第k位賭客符合(k,1)或(1,k)，由其代表猜出
k=1時，有一半(8種)無法準確猜得
k=8時由第1名賭客代表，有一半(8種)無法準確猜得
128-16=112，112/128=87.5%

將7名賭客分別就原排列情形逐以每位以x或o替代，所得結果如下：

xxxxxxx:(1111111),(1234567)
xxxxxx0:(7777771),(7856347)
xxxxx0x:(6666616),(6587264)
xxxxx00:(4444476),(4321844)
xxxx0xx:(5555155),(5678523)
xxxx0x0:(3333735),(3412383)
xxxx00x:(2222652),(2143228)
xxxx000:(8888432),(8765888)
xxx0xxx:(4441444),(4324876)
xxx0xx0:(6667664),(6586216)
xxx0x0x:(7776747),(7857371)
xxx0x00:(1114167),(1231511)
xxx00xx:(8885488),(8768832)
xxx00x0:(2223628),(2142252)
xxx000x:(3332783),(3413335)
xxx0000:(5558123),(5675555)
xx0xxxx:(3313333),(3432785)
xx0xxx0:(5575553),(5658125)
xx0xx0x:(8868838),(8785482)
xx0xx00:(2242258),(2123622)
xx0x0xx:(7757377),(7876741)
xx0x0x0:(1131517),(1214161)
xx0x00x:(4424874),(4341446)
xx0x000:(6686214),(6567666)
xx00xxx:(2243222),(2122658)
xx00xx0:(8865882),(8788438)
xx00x0x:(5578525),(5655153)
xx00x00:(3312385),(3433733)
xx000xx:(6687266),(6566614)
xx000x0:(4421846),(4344474)
xx0000x:(1134561),(1211117)
xx00000:(7756341),(7877777)
x0xxxxx:(2122222),(2243658)
x0xxxx0:(8788882),(8865438)
x0xxx0x:(5655525),(5578153)
x0xxx00:(3433385),(3312733)
x0xx0xx:(6566266),(6687614)
x0xx0x0:(4344846),(4421474)
x0xx00x:(1211561),(1134117)
x0xx000:(7877341),(7756777)
x0x0xxx:(3432333),(3313785)
x0x0xx0:(5658553),(5575125)
x0x0x0x:(8785838),(8868482)
x0x0x00:(2123258),(2242622)
x0x00xx:(7876377),(7757741)
x0x00x0:(1214517),(1131161)
x0x000x:(4341874),(4424446)
x0x0000:(6567214),(6686666)
x00xxxx:(4324444),(4441876)
x00xxx0:(6586664),(6667216)
x00xx0x:(7857747),(7776371)
x00xx00:(1231167),(1114511)
x00x0xx:(8768488),(8885832)
x00x0x0:(2142628),(2223252)
x00x00x:(3413783),(3332335)
x00x000:(5675123),(5558555)
x000xxx:(1234111),(1111567)
x000xx0:(7856771),(7777347)
x000x0x:(6587616),(6666264)
x000x00:(4321476),(4444844)
x0000xx:(5678155),(5555523)
x0000x0:(3412735),(3333383)
x00000x:(2143652),(2222228)
x000000:(8765432),(8888888)
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0x0xx00:(2242258),(2123622)
0x0x0xx:(7757377),(7876741)
0x0x0x0:(1131517),(1214161)
0x0x00x:(4424874),(4341446)
0x0x000:(6686214),(6567666)
0x00xxx:(2243222),(2122658)
0x00xx0:(8865882),(8788438)
0x00x0x:(5578525),(5655153)
0x00x00:(3312385),(3433733)
0x000xx:(6687266),(6566614)
0x000x0:(4421846),(4344474)
0x0000x:(1134561),(1211117)
0x00000:(7756341),(7877777)
00xxxxx:(2122222),(2243658)
00xxxx0:(8788882),(8865438)
00xxx0x:(5655525),(5578153)
00xxx00:(3433385),(3312733)
00xx0xx:(6566266),(6687614)
00xx0x0:(4344846),(4421474)
00xx00x:(1211561),(1134117)
00xx000:(7877341),(7756777)
00x0xxx:(3432333),(3313785)
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000xx00:(1231167),(1114511)
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