一邊長為1的正三角形ABC,其內部有一點P,
求證: AP+BP+CP小於2
小學

回應

aa963854116

2006-06-02 22:31
不好意思!!
打太快,歸錯類了(當然不是小學)

aa963854116

2006-06-02 22:50
已試過,
只能證明大於1.5
證不出小於2
(ps.等於2時此點在頂點上,因在三角形內,所以沒等號)

linian

2006-06-02 22:52
大於1.5還算簡單吧
pa+pb大於1
pb+pc大於1
pc+pa大於1
2(pa+pb+pc)大於3
(pa+pb+pc)大於1.5..

訪客 (未驗證)

2006-06-02 23:18
過P做平行底邊BC之直線,交兩邊於D,E,三角形ADE為正三角形,再用邊長不等式即可.

94006

2006-06-03 11:01
如果P點在A點上 BP+AP=2 應為最遠
但根據題意 P點在三角形內
之後可利用兩邊和大於第三邊 且只要有一長度改變其餘都會受到牽連 等來歸納出答案

aa963854116

2006-06-03 22:51
呃...這個方法好像不太可行...
引用：

94006 寫道:
如果P點在A點上 BP+AP=2 應為最遠
但根據題意 P點在三角形內
之後可利用兩邊和大於第三邊 且只要有一長度改變其餘都會受到牽連 等來歸納出答案

aa963854116

2006-06-03 22:52
引用：

寫道:
過P做平行底邊BC之直線,交兩邊於D,E,三角形ADE為正三角形,再用邊長不等式即可.

只是...要怎麼證...

tnshm

2006-06-04 00:01
過P做平行BC之直線交AB、AC於D、E則ADE為正三角形，
BD+DP>BP-------(1)
EC+EP>PC-------(2)
又在三角形APD中，角APD==角AEP+角EAP>60度
即角APD>角ADP，所以AD>AP------(3)
(1)+(2)+(3)==>BD+CE+(DP+EP)+AD>AP+BP+CP
因為DP+EP=DE=AE
所以原式==>BD+AD+CE+AE>AP+BP+CP
==>AB+AC>AP+BP+CP 得證(AB+AC=2)

94006

2006-06-04 00:07
引用：

tnshm 寫道:
過P做平行BC之直線交AB、AC於D、E則ADE為正三角形，
BD+DP>BP-------(1)
EC+EP>PC-------(2)
又在三角形APD中，角APD==角AEP+角EAP>60度
即角APD>角ADP，所以AD>AP------(3)
(1)+(2)+(3)==>BD+CE+(DP+EP)+AD>AP+BP+CP
因為DP+EP=DE=AE
所以原式==>BD+AD+CE+AE>AP+BP+CP
==>AB+AC>AP+BP+CP 得證(AB+AC=2)

原來是用外角定理和不等式結合得證的 很漂亮