設N為奇數，a1，a2……an是由n個自然數1，2……
n按任意排列的n個數。
求證：（a1-1）(a2-2)……(an-n)一定是偶數。 :-( :lspeak:
小學

回應

94006

2006-06-04 17:49
a1是1吧
1-1=0阿 （a1-1）(a2-2)……(an-n)=0=偶數

j7631103

2006-06-04 17:56
引用：

94006 寫道:
a1是1吧
1-1=0阿 （a1-1）(a2-2)……(an-n)=0=偶數

它沒有說a1=1,他只有說是由(任意)的數組成

訪客 (未驗證)

2006-06-04 18:06
n為奇數，故a1, a2......中有(n-1)/2個偶數，1+(n-1)/2個奇數，若(a1-1）(a2-2)……(an-n)為奇數，則a1、a3、......an為偶數，a2,、a4、……a(n-1)為奇數，即a1, a2......中有(n-1)/2個奇數，1+(n-1)/2個偶數，矛盾
故(a1-1）(a2-2)……(an-n)為偶數

94006

2006-06-04 18:08
如果a1是偶數 則an為偶數(偶奇偶 題目設此數列為奇數)
則(a1-1）(a2-2)……(an-n)首項及末項為奇數 中間(a2-2)~(a(n-1)-(n-1))皆為偶數(偶數減偶數為偶數,奇數減奇數為偶數)
所以 (奇數乘偶數乘奇數)為偶數 ------1)
如果a1是奇數 則an為奇數
同理得(偶數乘奇數乘偶數)為偶數------2)
由 1) and 2)得(a1-1)(a2-2)……(an-n)一定是偶數
證畢