將一個正立方體放在一個平面上。沿著它的稜邊滾動數次後回到原來的位置，並且朝上的面與原來朝上的面也相同。請問是否可能最後朝上的面是由原來朝上的面經90度旋轉？
高中

回應

訪客 (未驗證)

2005-10-16 17:44
把一開始最頂端和一個側面作記號稱 A,B


考慮這個運動: 往前 右(左)測滾 往後

這個運動會使正上方回到正上方並且旋轉 90 度
不過位置上會往右(左)平移一格


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我的辦法是這樣
如果題目所述的運動存在
就可以使方塊回到原位並且旋轉 90 度
恰好和我上面舉的例子完全一樣
只是位子平移一格
於是接下來我要證明這是不可能做到的來達成矛盾
(不可能再經過若干次操作以後方塊各面的相對位置和原來完全一樣而位置平移了一格)



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以下所述某面的運動多指某面相對於中心
方向有所改變的運動(指上下左右前後)
(某些操作對某面相對中心的影響只有旋轉 90 度)






1.方塊要滾到平移一格的位置必定需經過奇數次操作

這是顯然的,只要考慮方塊中心的移動
有去必有回
它朝 +x 方向移動了 n 次回來也需要 n 次操作
至於朝 +y 方向移動了 m 次回來需要 m-1 次(都是總和)
故此敘述為顯然


2.被做記號的 A,B 兩面相鄰所以每次操作至少會導致其中一面相對中心的方向發生運動(相對中心的方向指上下左右前後)


3.把 A 對 B (相對於中心有效的)運動分類:
(a)A 朝 B 的方向(或逆向)同時滾動
(b)B 旋轉, A 運動


4. 一件重要的事:
當 A 位在側面時下一步它只能到頂或底部去
所以 A 做的有效運動 (a) 或 (b) 都必須做偶數次以後才能換作另一種
即若把 A 的活動寫出來必須是類似
aabbbbaaaabbaaaaaa.......

這樣的格式
也就是說全部操作完時 a 運動的次數和 b 運動的次數不得同時為奇數


5.由 1. 知把方塊整個平移一格的運動若存在
所需的操作次數必為奇數
又由 2.知每次操作至少會讓 A,B 之一發生有效運動

則用 x 表整串操作中 A 運動而 B 未運動的次數
y 表 B 運動而 A 未運動的次數
z 表兩者同時運動的次數
則有:


x+y+z = 2k+1


其中 2k+1 表整串運動所耗的次數
又因任何一面回到原位必定經過 2n 次有效操作
(對某面奇數次有效操作會讓原位在上下的面到側面,原在側面者跑到上下)

因而有:

2|x+z , 2|y+z

於是很容易得出 x,y,z 皆為奇數的結論


最後引用 4. 的原理
z 屬於 (a)運動 x 屬於 (b)運動
不可同時為奇數
故矛盾

使方塊完整平移一格的運動不存在
違反開始的假設固題目所述的運動也不存在