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換門期望值問題

大家好，這是小弟第一次在這裡發文，
請諸君指教。

題目是這樣的：

一場獎金遊戲中，有A、B兩扇門供參賽者選擇。
主持人表示，兩扇門後皆有獎金，
但其中一扇門的獎金是另一扇的兩倍。
但是主持人並未公布兩扇門相加的總獎額是多少。

接著，參賽者選擇了A門，打開後獎金是100元。

主持人給予了參賽者一次換門機會，
參賽者開始計算兩扇門的獎金期望值：

A門毫無疑問的是100元獎金。
B門獎金有兩種可能，即50元或200元，且機率各半
(取決於A門是大獎或小獎)
由此知B門獎金期望值是125元，果斷換門。

但是，這個結論應該是錯誤的。

試改變題目情境如下：

參賽者賣弄數學，
選門前就預先拿出紙筆作計算。
假設A門獎金是a元，B門是b元。
選擇A門就可以拿到a元，而b=0.5a或是2a，
所以b的期望值是1.25a，大於a，應該選B門，
但選了B門後，
再去估計A門的獎金又會發現a的期望值是1.25b，
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環球城市數學競賽2012秋季賽高中組初級卷

※ 每題必須詳細寫下證明及理由，只寫答案不一定有分數。

1. 在一個 mxn方格表的踩地雷遊戲中，每個小方格內都可能藏有一枚地雷或沒有地雷。在每個沒有地雷的小方格內寫上與此小方格有公共邊或公共頂點的所有小方格內藏有地雷的總數。現若將所有的地雷移除，而在原沒有地雷的小方格內都放一枚地雷，然後在現在沒有地雷的小方格內寫上與此小方格有公共邊或公共頂點的所有小方格內藏有地雷的總數。請問有沒有可能使最後所有方格內所填的數之總和大於原來所有方格內所填的數之總和？(四分）

2. 給定一個凸多面體、一個空心的圓球與此多面體的每條邊都相交於二點，且此二點都將該條邊三等分。請問此多面體的每個面是否必定為
(a) 互相全等的多邊形；（二分）
(b) 正多邊形？（三分）

3. 有數項郊遊行程供全班20位學生參加，每項行程至少有四位學生參加。證明存在有一項行程使得參加此項行程的每位學生參加郊遊的項數至少為此班所有學生參加郊遊項數的1/17 。（五分）

4. 令 表示正整數 的質因數個數。(例如 C(10)=2、 C(11)=1、 C(12)=2。)
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環球城市數學競賽2012秋季賽國中組初級卷

※ 每題必須詳細寫下證明及理由，只寫答案不一定有分數。

1. 有五位學生的姓分別為Clarkson、Donaldson、Jackson、Robinson、Stevenson，而他們的名字為Clark、Donald、Jack、Robin、Steve (不一定依相同順序)。已知：
(a) Clark比Clarkson大一歲；
(b) Donald比Donaldson大二歲；
(c) Jack比Jackson大三歲；
(d) Robin比Robinson大四歲；
請問Steve與Stevenson誰年紀比較大？大幾歲？（三分）

2. 令 c(n)表示正整數 n 的質因數個數。(例如 C(10)=2、 C(11)=1、 C(12)=2。) 當 a不等於b時，請問滿足 C(a+b)=C(a)+C(b))的正整數對(a, b)為有限多對還是無限多對？（四分）
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