m,n為任意正整數,但m不等於n
試證能找到一數小於11的正整數k
使mk+n(k-1)為10的倍數
或能找到一數小於10的k
使mk+nk為10的倍數
國中

回應

94006

2005-12-11 20:11
k(m+n)-n=10r(r為定數)
∵m不等於n
∴其中只能有1ㄍ等於0
設n=0
m=10
→10k-0=10k=10r
k(m+n)=10r(r為定數)
設m=9 n=1→k(9+1)=10k=10r

ej0cl6

2005-12-11 21:12
如果m+n=10t
則mk+nk=k(m+n)不管k為多少都必為10的倍數

如果m+n=10t+2或10t+4或10t+6或10t+8
則k選5
mk+nk=k(m+n)
因m+n=2得倍數
所以k(m+n)圍10的倍數

如果m+n=10t+5
則k選小於10的偶數
mk+nk=k(m+n)
因m+n為五的倍數，所以k(m+n)為10的倍數

如果m+n=10t+1或10t+3或10t+7或10t+9

因為1,3,7,9乘上1~9尾數都不同
mk+n(k-1)=mk+nk-n=k(m+n)-n
只要看n除以10的餘數再選擇k就可以了..

因此得證！