數學問題.兩題證明題

1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

因為n^2=n*n也可以說是n個n相加
所以可將Σn^2畫成下圖

Σn^2即為圖中所有數字的總和
接下來旋轉圖的方向再相加
+ + =
共有n(n+1)/2個2n+1
即可推出Σn^2=n(n+1)/2*(2n+1)/3=n(n+1)(2n+1)/6

n^3則可以這樣看
　　　１　　２　　３　　４　　５　......

１　　１　　２　　３　　４　　５　

２　　２　　４　　６　　８　　１０

３　　３　　６　　９　　１２　１５

４　　４　　８　　１２　１６　２０

５　　５　　１０　１５　２０　２５
......

很容易可以看出
1^3+2^3+3^3+4^3+..+n^3
就是圖中黑色數字的總和
也就是
(1+2+3+4+...+n)^2=[n(n+1)/2]^2

真的很佩服有人可以用圖解法與觀察法來說明
但在正式考試中,以圖解法與觀察法來證明,往往是會被扣分甚至全錯的
以下以"數學歸納法"來證明,尚請不吝指教
1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(1)當n=1時,原式成立
(2)令n=m時原式成立
即1^2+2^2+3^2+4^2+...+m^2=m(m+1)(2m+1)/6
則當n=m+1時,代入原式左側:
1^2+2^2+3^2+4^2+...+m^2+(m+1)^2
=m(m+1)(2m+1)/6+(m+1)^2
=(m(m+1)(2m+1)+6(m+1)^2)/6
=(m+1)(m(2m+1)+6(m+1))/6
=(m+1)(2m^2+7m+6)/6
=(m+1)(m+2)(2m+3)/6
=(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)/6
由數學歸納法,本題得證
同理立方和也可用數學歸納法證明

這題尚可利用"差分法"

Σn^2
公式 n^3-(n-1)^3
n=1 1^3-0^3=3*1^2-3*1+1
n=2 2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
n=3 3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
.... .......................................
n=n n^3-(n-1)^3=3n^2-3*n+1

相加得n^3-0^3=3=3Σn^2-3Σn^2-3Σn+1
3Σn^2=n^3+3Σn-n=n(n^2-1)+3n(n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2

另外當Σn^3的時候,就可以利用
n^4-(n-1)^4,利用上面類似的解法,整理歸納出公式: n^2(n+1)^2/4

要使用數學歸納法,其前提是要有一個完整的方程式或等式 ,所以右邊的式子n(n+1)(2n+1)/6是不可或缺的
此題因為比較簡單,所以可以用圖解法或觀察法歸納出結果,但當你上了高中後,你就會發現很多證明是無法以觀察法得到的,因此你還是要熟悉數學歸納法

我的老師教法和他一樣

　　求f(n)=1^k+2^k+3^k+4^k+.....n^k時大家比較熟悉的是k=1,2,3時的公式解，此時也有一些幾何圖形幫助我們了解公式如何求得，但我與神豬一起玩這個課題時，得到了一些心得，在此提出來分享也尋求指正．

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設f(x)=1^k+2^k+3^k+4^k+.....x^k，因f(0)=0，多項式常數項為0，故x|f(x)

當x=n，n|f(n)；當x=n+1，n+1|f(n+1)，n+1|f(n)+(n+1)^k，n+1|f(n)；故n(n+1)|f(n)

當n為偶數，x=2n+1時，2n+1|f(2n+1)；f(2n+1) (mod 2n+1)=2f(n) (mod 2n+1)=0，

故2n+1|f(n)，此時n(n+1)(2n+1)|f(n)

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由上可知，我們可設A=n(n+1)，將多項式f(n,k)=1^k+2^k+.....+n^k改設為A的函數

例如：令f(n,7)=A^2(A^2+aA+b)/8，由f(1,7)=1和f(2,7)=129求得a=-4/3，b=2/3；

故f(n,7)=A^2(3A^2-4A+2)/24

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令A=n(n+1)，B=n(n+1)(2n+1)/2，設f(n,k)=1^k+2^k+......+n^k，由上述方法可得

f(n,1)=A/2；f(n,2)=B/3；f(n,3)=A^2/4；f(n,4)= B(3A-1)/15=B(A-1/3)/5

f(n,5)=A^2*(2A-1)/12=A^2*(A-1/2)/6；f(n,6)=B(3A^2-3A+1)/21=B(A^2-A+1/3)/7

f(n,7)=A^2(3A^2-4A+2)/24=A^2(A^2-4A/3+2/3)/8

f(n,8)=B(5A^3-10A^2+9A-3)/45=B(A^3-2A^2+9A/5-3/5)/9

f(n,9)=A^2(A-1)(2A^2-3A+3)/20= A^2(A-1)(A^2-3A/2+3/2)/10

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但次數高，數字變大時還是感到有點麻煩，此時利用積分原理來做就比較單純多了．

將連續級數和視為多項式之積分，設f(n,k)=n^k，則積分為[1/(k+1)]*n^(k+1)+........

f(n,k)=[n^(k+1)+a*n^k+b*n^(k-1)+.......]/(k+1)

利用次數為k時所得f(n,k)來求得次數k+1時之f(n,k+1)

1.因必含n(n+1)因子，故常數項為零

2.將f(n)乘以k後所得kf(n)領導係數為1，經積分後新增一次項，設係數為a，

形成1/(k+1)*n^(k+1)+..........+a*n

如此每次僅用f(1)=1，令係數和為1即可解得a，並簡化求f(n)的程序

這些解法是我在書本上看不到的
原本想把公式背一背就好
但是良心不安
沒想到讓我遇到這麼多高手
真是開心
雖然我還不是很懂
但小有開竅
尤其對n^2為何扯到n^3去證明有了一點線索

圖解法真是感謝