學生提出的幾何題，想不出解法，請大家幫幫忙

圓O中AB為直徑
過A點作一切線L，並在L上取一點P
過P點作一過圓心O點的割線M
再過P點作一割線N，N位於L與M之間
且令交圓於C、D兩點
連接BC、BD，交M於E、F兩點

試証：OE＝OF

麻煩各位大大囉，謝謝！
國中

回應

s87009812

2007-06-11 23:12
延長AF交圓O於Y點,延長AE交圓O於X點.
根據Pascal定理變形,可得C,O,Y共線, D,O,X共線.
CY和DX為Diameter. 所以角XCD=角CDY=90度.
角CXD=角CYD,且XD=CY. 即三角形CXD和DYC全等.
=> CX=DY
易推得角AFB=角AEB.
AY為弦且XD為直徑,即弧AD=弧DY=弧CX=弧XB.
所以角AYD=角XCB=角XAB=角ABD
得: AEBF為平行四邊形.
=>AO=OB and OE=OF.
Q.E.D

jen_chih_wu

2007-06-11 23:42
不好意思，
Pascal定理變形的方法可以講清楚一點嗎？
是找6個點去推嗎？

s87009812

2007-06-12 10:55
引用：

jen_chih_wu 寫道:
不好意思，
Pascal定理變形的方法可以講清楚一點嗎？
是找6個點去推嗎？


在一個圓形中任意取6個相異點.
順時針依序標示為A B C D E F
則連AD AE BF BD CF CE.
AE與BF交於M AD與FC交於N CE與BD交於O.
則M N O 共線

jen_chih_wu

2007-06-13 17:00
這部分我了解，但是找不到適合的6個點
如果M與圓的交點為G、H兩點
要說明C、O、Y共線
不是要找邊的交點嗎？
要找兩弦交於O點，就找A、B、G、H，共4點
因為還要證明C、Y與O共線
所以另2點應該是找C、Y吧

所以要找的點是A、B、C、G、H、Y
如果Y、H、P在AB的同側
變形六邊形頂點依序為何？

謝謝你囉！

jen_chih_wu

2007-06-28 19:14
我問到解法囉，
如下：

作OH垂直CD於H，連H，A
過C作CL平行EF交AB於K，FD於L
O、H、A、P共圓，∴∠OAH=∠OPH，==>∠KCH=∠OPH
so，K、H、A、C共圓
∴∠KHC=∠KAC，又∠KAC=∠BDC，所以KH//BD
∵OH垂直CD，∴CH=HD
故CK=KL(KH//LD)
∴EO=OF(EF//CL)

得証