3. 線段AV平行於直線L。請用沒有刻度的直尺與圓規在此直線上作出點S，使得AS×VS之值最小。（四分） (註：必須寫下作圖方法及證明)
高中

回應

bubupin

2007-10-23 12:45
設A，V在L的垂足為B，W，線段AV與直線L間垂直距離為d，AV長度為k

(1)若S不介於B，W之間，設BS=x，SW=k+x或BS=k+x，SW=x
則AS^2×VS^2=(d^2+x^2)(d^2+(k+x)^2) > = (d^2+(x^2+kx))^2
x^2+kx之最小值為x=-k/2時，但x必須大於等於0，故此時之最小值不符

(2)
(i)S若介於B，W之間，設BS=x，SW=k-x
則AS^2×VS^2=(d^2+x^2)(d^2+(k-x)^2) > = (d^2+(x^2-kx))^2
x^2-kx之最小值為x=k/2時有最小值d^2-k^2/4
但此僅適用於d^2-k^2/4大於0，也就是d > = k/2時

(ii)當S在L上，三角形ASW的面積皆為k*d*1/2
同時也可利用1/2*ASxVS*sinS求得，故當sinS有最大值1時，ASxVS有最小值,此時夾角ASV等於90度．

************************************************************
當AS和L之垂直距離大於等於AS長度之一半時，作其投影線段之中點即可
作圖方法：1．分別以A，V為圓心，取大於AV一半長為半徑，作兩圓弧交於P，Q兩點
　　　　　2.連接P，Q兩點並延長使其交L於S點，S點即為所求

當AS和L之垂直距離小於AS長度之一半時
作圖方法：1．分別以A，V為圓心，取大於AV一半長為半徑，作兩圓弧交於P，Q兩點
　　　　　2.連接P，Q兩點交AS點於K點
　　　　　3.以K為圓心，AK為半徑畫圓交L於S，S'兩點，則S，S'皆符合所求