極限值問題

引用：

jen_chih_wu 寫道:
題目是：
若m為實數，且
{( 2m +1)x + (m+2)y = 2
{( 3m +2)x + (m+3)y = 3
則令x^2+y^2有最大值的m為？
且，最大值為？

有點難做，不知道高手們可以提供些想法嗎？

我還沒做出,不過我先提供我做到的地步
就是先解聯立方程式的根
易得x=m/(m^2+m+1),y=1/(m^2+m+1)
所以x^2+y^2=(m^2+1)/(m^2+m+1)^2
但就卡住了,我覺得可能是用柯西不等式

算錯..

解出x=m/(m^2+m+1) (m實數,m^2+m+1恆>=3/4)
y=1/(m^2+m+1)
=> x^2+y^2 =(m^2+1)/(m^2+m+1)^2...(*)
再求(*)的max............

引用：

abc831128 寫道:
解出x=m/(m^2+m+1) (m實數,m^2+m+1恆>=3/4)
y=1/(m^2+m+1)
=> x^2+y^2 =(m^2+1)/(m^2+m+1)^2...(*)
再求(*)的max............

就如你所說的,那要怎麼求啊..........
我是有算出x,y的範圍
1/3>=x>=-1
4/3>=y>=0

用maple 解出
m=-.6823278040 ; 最大值 f(m)=2.388984942

用maple 解出
m=-.6823278040 ; 最大值 f(m)=2.388984942
我不太確定

x^2+y^2 =(m^2+1)/(m^2+m+1)^2
令A=m^2+1，B=m^2+m+1
則A'B=B'A時x^2+y^2可能出現極大極小值
亦即m^3+m+1=0時m之實數解代入即可求得
上式整理得m^2+1=-1/m
x^2+y^2=(m^2+1)y^2=-y^2/m
y=1/(m^2+m+1)=1/(m-1/m)
m=~ -2/3
如abc831128所言以近似值m=-0.6823278040代入求最大值概數f(m)=2.388984942即可

令x=tanA，1/f(x)=(xx+1+x)^2/(xx+1)
=[(secA)^2+tanA]^2/(secA)^2=(secA+sinA)^2

轉求1/f(x)之極小值，令(1/f)’=2(secA+sinA)(secAtanA+cosA)=0
secA+sinA=0(無實根)，或secAtanA+cosA=0
[sinA+(cosA)^3]/(cosA)^2=0，sinA+(cosA)^3=0
sinA/[cosA(cosA)^2]+1=0，tanA*(secA)^2+1=0
tanA*[(tanA)^2+1]+1=0，x^3+x+1=0，x約-0.682327803828019

由公式解得x實根=(-9+√93)^(1/3)+(-9-√93)^(1/3)
此時f(x)有極大值M，1/M=(xx+1+x)^2/(xx+1)
=(-1/x+x)^2/(-1/x)=-x[xx-2+1/(xx)]=-x^3+2x-1/x
=x+1+2x+xx+1=xx+3x+2=(x+1)(x+2)
M=1/[(x+1)(x+2)]或1/(x+1)-1/(x+2)約2.38898484242336(由excel)

請問：則A’B=B’A時x^2+y^2可能出現極大極小值
為什麼？

1.設y=A/B，則y'=(A'B-B'A)/B^2

2.y'的意義代表切線斜率，當在極大極小值時所作切線平行x軸，其斜率為0

3.因此當y'=0時可能出現極大極小值，亦即分子部份A'B-B'A=0

thanks

引用：

abc831128 寫道:
令x=tanA，1/f(x)=(xx+1+x)^2/(xx+1)
=[(secA)^2+tanA]^2/(secA)^2=(secA+sinA)^2

轉求1/f(x)之極小值，令(1/f)’=2(secA+sinA)(secAtanA+cosA)=0
secA+sinA=0(無實根)，或secAtanA+cosA=0
[sinA+(cosA)^3]/(cosA)^2=0，sinA+(cosA)^3=0
sinA/[cosA(cosA)^2]+1=0，tanA*(secA)^2+1=0
tanA*[(tanA)^2+1]+1=0，x^3+x+1=0，x約-0.682327803828019

由公式解得x實根=(-9+√93)^(1/3)+(-9-√93)^(1/3)
此時f(x)有極大值M，1/M=(xx+1+x)^2/(xx+1)
=(-1/x+x)^2/(-1/x)=-x[xx-2+1/(xx)]=-x^3+2x-1/x
=x+1+2x+xx+1=xx+3x+2=(x+1)(x+2)
M=1/[(x+1)(x+2)]或1/(x+1)-1/(x+2)約2.38898484242336(由excel)

啥是maple有人提供一下嗎
還有何謂公式解?

上篇更正：由公式解得x實根=(-9+√93)^(1/3)+(-9-√93)^(1/3)
改為：由公式解得x實根=[(-9+√93)/18]^(1/3)+[(-9-√93)/18]^(1/3)

即原式立方根內少除以18

Toj7631103： A=(mm+1)
你意思是B=(mm+m+1)^2，y=A/B；或B=(mm+m+1)，y=A/B^2
其中漏打2次方了，令y’=0，得m^3+m+1=0
剛開始我也這樣解，但因計算錯誤得五次方程式，所以改用三角函數
我繞遠路了

三次公式解請參考如下
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_08_4_01/page2.html

若x^3+px-r=0，則x的公式解如下：
令u=[r/2+√(rr/4+ppp/27)]^(1/3)，v=[r/2-√(rr/4+ppp/27)]^(1/3)__(1)
則x三根為：u+v、wu+wwv、wwu+wv
其中w=(-1+√3i)/2，ww=(-1-√3i)/2，均為1的立方根

一般之ax^3+bx^2+cd+d=0，等式兩邊同除以a，可轉型為
x^3+b’x^2+c’x+d=0，平移x=x’-b’/3，可轉型為x’^3+px’-r=0

解x^3+x+1=0，p=1，r=-1
u=[-1/2+√(1/4+1/27)]^(1/3)=[(-9+√93)/18]^(1/3)
v=[-1/2-√(1/4+1/27)]^(1/3)=[(-9-√93)/18]^(1/3)
x=[(-9+√93)/18]^(1/3)+[(-9-√93)/18]^(1/3)，約-0.682327803828019
或x=w[(-9+√93)/18]^(1/3)+ww[(-9-√93)/18]^(1/3)
或x=ww[(-9+√93)/18]^(1/3)+w[(-9-√93)/18]^(1/3)
後兩者為複根不取

註(1)：若x^3+3px+2r=0，則(1)可改寫如下
u=[-r+√(r^2+p^3)]^(1/3)，v=[-r-√(r^2+p^3)]^(1/3)__(1)

To j76331103, sorry
一般之ax^3+bx^2+cx+d=0

指的當然是前者,下次我會把它表示完整的