4. 有多少個多項式 F of X=X7次方+a1X6次+a2X5次+a3X4次+a4X3次+a5X2次+a6X+a7 同時滿足下面兩個條件？ (1)a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 是集合( 1.2.3....10) 中的七個相異元素； (2)F of X 可被 X3次+X2次+X+1整除。高中 回應 笑哥 Re: 數學難題 2008-04-13 16:02 解： 設f(x)=(x^3+x^2+x+1)(x^4+ax^3+bx^2+cx+d) =x^7+(a+1)x^6+(a+b+1)x^5+(a+b+c+1)x^4+(a+b+c+d)x^3+(b+c+d)x^2+(c+d)x+d (1)a+b+c+d < = 10，因a+b+c+1和a+b+c+d相異，故d > = 2 (2)排除 a+1=b+c+d， a+1=c+d，a+1=d， a+b+1=c+d ， a+b+1=d，a+b+c+1=d (3)a+b+c+d > b+c+d > c+d > d，a+b+c+d > a+b+c+1 > a+b+1 > a+1 依上述原則 １．d=2，(a,b,c,d)=(2,1,3,2)，(2,1,4,2)，(2,1,5,2)，(2,2,2,2)，(2,2,4,2)，(2,3,2,2)，(2,3,3,2)，(2,4,2,2)，(3,1,4,2)，(3,2,1,2)，(3,2,3,2)，(3,3,1,2)，(3,4,1,2)，(4,1,1,2)，(4,2,2,2)，(4,3,1,2)，(5,1,1,2)，(5,1,2,2)，(5,2,1,2)，(6,1,1,2) ２．d=3，(a,b,c,d)=(5,1,1,3) ３．d > =4，無解 共21組解
笑哥 Re: 數學難題 2008-04-13 16:02 解： 設f(x)=(x^3+x^2+x+1)(x^4+ax^3+bx^2+cx+d) =x^7+(a+1)x^6+(a+b+1)x^5+(a+b+c+1)x^4+(a+b+c+d)x^3+(b+c+d)x^2+(c+d)x+d (1)a+b+c+d < = 10，因a+b+c+1和a+b+c+d相異，故d > = 2 (2)排除 a+1=b+c+d， a+1=c+d，a+1=d， a+b+1=c+d ， a+b+1=d，a+b+c+1=d (3)a+b+c+d > b+c+d > c+d > d，a+b+c+d > a+b+c+1 > a+b+1 > a+1 依上述原則 １．d=2，(a,b,c,d)=(2,1,3,2)，(2,1,4,2)，(2,1,5,2)，(2,2,2,2)，(2,2,4,2)，(2,3,2,2)，(2,3,3,2)，(2,4,2,2)，(3,1,4,2)，(3,2,1,2)，(3,2,3,2)，(3,3,1,2)，(3,4,1,2)，(4,1,1,2)，(4,2,2,2)，(4,3,1,2)，(5,1,1,2)，(5,1,2,2)，(5,2,1,2)，(6,1,1,2) ２．d=3，(a,b,c,d)=(5,1,1,3) ３．d > =4，無解 共21組解
回應
笑哥
Re: 數學難題
2008-04-13 16:02設f(x)=(x^3+x^2+x+1)(x^4+ax^3+bx^2+cx+d)
=x^7+(a+1)x^6+(a+b+1)x^5+(a+b+c+1)x^4+(a+b+c+d)x^3+(b+c+d)x^2+(c+d)x+d
(1)a+b+c+d < = 10，因a+b+c+1和a+b+c+d相異，故d > = 2
(2)排除 a+1=b+c+d， a+1=c+d，a+1=d， a+b+1=c+d ， a+b+1=d，a+b+c+1=d
(3)a+b+c+d > b+c+d > c+d > d，a+b+c+d > a+b+c+1 > a+b+1 > a+1
依上述原則
１．d=2，(a,b,c,d)=(2,1,3,2)，(2,1,4,2)，(2,1,5,2)，(2,2,2,2)，(2,2,4,2)，(2,3,2,2)，(2,3,3,2)，(2,4,2,2)，(3,1,4,2)，(3,2,1,2)，(3,2,3,2)，(3,3,1,2)，(3,4,1,2)，(4,1,1,2)，(4,2,2,2)，(4,3,1,2)，(5,1,1,2)，(5,1,2,2)，(5,2,1,2)，(6,1,1,2)
２．d=3，(a,b,c,d)=(5,1,1,3)
３．d > =4，無解
共21組解