一六邊形ABCDEF內接於圓O，線段AB=線段BC=線段CD=線段DE=線段AF=81，線段EF=31，試問線段FD+線段AD+線段BD=? 在各項考試中，常會遇到釵h圓形與內接六邊形的題目，請問其中有什麼性質呢?國中 回應 笑哥 Re: 圓形內接六邊形的問題 2008-05-06 22:15 設EF度數=2A，其餘五弧=2B(均取劣弧)，半徑r 則A+5B=180度，2rsinA=31，2rsinB=81，令sinB=s，cosB=c 設sin5B=ps^5+qs^3+rs，令B=30,45,90度代入得 p/32+q/8+r/2=1/2，p/4+q/2+r=-1，p+q+r=1 解得p=16，q=-20，r=5，故sin5B=16s^5-20s^5+5s 又2rsin5B=2rsinA=31，因此81(16s^4-20s^2+5)=31 整理得(36s^2-11)(18s^2-17)=0 s=(11/36)^1/2或s=(17/18)^1/2)(但B < 72度，此解不合) 故c=[5*(47)^1/2]/36 FD+AD+BD=2r[sin(A+B)+sin3B+sin2B]=2r(sin4B+sin3B+sin2B) =2r(sin3B)(2cosB+1)=2rs(3-4s^2)(2c+1)=81(4c^2-1)(2c+1) =[(4255/72)(47)^1/2]+851/4
笑哥 Re: 圓形內接六邊形的問題 2008-05-06 22:15 設EF度數=2A，其餘五弧=2B(均取劣弧)，半徑r 則A+5B=180度，2rsinA=31，2rsinB=81，令sinB=s，cosB=c 設sin5B=ps^5+qs^3+rs，令B=30,45,90度代入得 p/32+q/8+r/2=1/2，p/4+q/2+r=-1，p+q+r=1 解得p=16，q=-20，r=5，故sin5B=16s^5-20s^5+5s 又2rsin5B=2rsinA=31，因此81(16s^4-20s^2+5)=31 整理得(36s^2-11)(18s^2-17)=0 s=(11/36)^1/2或s=(17/18)^1/2)(但B < 72度，此解不合) 故c=[5*(47)^1/2]/36 FD+AD+BD=2r[sin(A+B)+sin3B+sin2B]=2r(sin4B+sin3B+sin2B) =2r(sin3B)(2cosB+1)=2rs(3-4s^2)(2c+1)=81(4c^2-1)(2c+1) =[(4255/72)(47)^1/2]+851/4
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笑哥
Re: 圓形內接六邊形的問題
2008-05-06 22:15則A+5B=180度，2rsinA=31，2rsinB=81，令sinB=s，cosB=c
設sin5B=ps^5+qs^3+rs，令B=30,45,90度代入得
p/32+q/8+r/2=1/2，p/4+q/2+r=-1，p+q+r=1
解得p=16，q=-20，r=5，故sin5B=16s^5-20s^5+5s
又2rsin5B=2rsinA=31，因此81(16s^4-20s^2+5)=31
整理得(36s^2-11)(18s^2-17)=0
s=(11/36)^1/2或s=(17/18)^1/2)(但B < 72度，此解不合)
故c=[5*(47)^1/2]/36
FD+AD+BD=2r[sin(A+B)+sin3B+sin2B]=2r(sin4B+sin3B+sin2B)
=2r(sin3B)(2cosB+1)=2rs(3-4s^2)(2c+1)=81(4c^2-1)(2c+1)
=[(4255/72)(47)^1/2]+851/4