1.求証方程x^2+y^2=1992無正整數解
2.a b c 為整數且a+b+c=0是証a^5+b^5+c^5能被a^2+b^2+c^2
整除
3.4^27+4^500+4^n是完全平方數 則最大的整數n=
4.已知a b c 為正整數且滿足a+b+c=20 ab+bc-ca-b^2-20=0
是求abc的所有可能值
5.已知a0 a1 a2 a3.........an都是正整數a0>a1>a2...>an>1
且滿足(1-1/a1)+(1-1/a2)+.....+(1-1/an)=2(1-1/a0)
請找出(a0 a1 a2 a3.........an)所有可能的解
6.把既不是平方數也不是立方數的所有自然數依照由小到大的順
序排列 得到前6項為2 3 5 6 7 10請問這些自然數的排列中其第
2005個數是什麼 :-o
國中

回應

笑哥

2008-06-09 13:18
這幾題都很單純，解法上應不會有什麼特別變化

1.
因1992=3*8*83，設x除以3餘數a，y除以3餘數b，
則a^2+b^2為3的倍數
a=0時b=0，但此時x^2+y^2為9的倍數，矛盾不合
a=1，2時，a^2+b^2均不為3的倍數
故x^2+y^2=1992無正整數解

2.
a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(a+b)^2=2(a^2+ab+b^2)
a^5+b^5+c^5=a^5+b^5-(a+b)^5=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)
ab(a+b)以a,b同偶，同奇，一奇一偶判斷必為偶數
故a^5+b^5+c^5能被a^2+b^2+c^2整除

3.
4^27=(2^27)^2，4^500=2^1000=2*2^27*2^972
故4^n=(2^972)^2=4^972，此時n=972為最大整數值

4.
ca=ab+bc-b^2-20=b(20-b)-b^2-20=2[15-(b-5)^2] > 0
故2 < = b < = 8，12 < = ac < = 30 且a,c必有一為偶數
b=4時，(a,b,c)=(2,4,14),(14,4,2)
b=7時，(a,b,c)=(2,7,11),(11,7,2)
故abc=112或154

5.
因1 < 2(1-1/a0) < 2，故僅n=3時有解
此時1/a1+1/a2+1/a3=1+2/a0
當a3 > 2時1/a1+1/a2+1/a3 < 1，故a3=2
當a2 > 3時1/a1+1/a2+1/2 < 1，故a2=3
當a1 > 5時1/a1+1/2+1/3 < =1，故a1=4,5時始有解
故(a0,a1,a2,a3)=(24,4,3,2)，(60,5,3,2)

6.
45^2=2025以下的平方數有45個，立方數有12個
其中重覆有1^2=1^3，8^2=4^3，27^2=9^3共3個
故2025以下是平方數也是立方數者有45+12-3=54
2025以下既不是平方數也不是立方數者有1971個
故第2005個數是2025+(2005-1971)=2059