請教解題:
四面體的稜長只能為1或2,則此種四面體共有幾種可能?(四面體的四個面對應全等的視為同一個)
高中

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joey

2008-09-29 20:31
因為各面為三角形，而三角形中兩邊和大於第三邊，所以各面邊長可能為(1,1,1)、(1,2,2)、(2,2,2)
以下分類討論：
1.至少一個面為(1,1,1)
i.另外有一個面(或以上)為(1,1,1)，於是剩下兩個面中都有兩邊為1，所以四個面都是(1,1,1)，符合條件
ii.沒有其他(1,1,1)，所以其他三面只能是(1,2,2)，符合條件

2.沒有任何一個面為(1,1,1)
i.沒有任何一個面為(2,2,2)，所以四個面都是(1,2,2)，符合條件
ii.只有一個面為(2,2,2)，那麼其他的面都是(1,2,2)，但會造成有奇數個1，不合
iii.恰有兩個面為(2,2,2)，那麼其他的面都是(1,2,2)，符合條件
iv.三個面以上為(2,2,2)，由三個面為(2,2,2)得第四面也為(2,2,2)，符合條件

所以四面可為：
[ (1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1) ]
[ (1,1,1),(1,2,2),(1,2,2),(1,2,2) ]
[ (1,2,2),(1,2,2),(1,2,2),(1,2,2) ]
[ (1,2,2),(1,2,2),(2,2,2),(2,2,2) ]
[ (2,2,2),(2,2,2),(2,2,2),(2,2,2) ]

ksjeng

2008-09-29 23:23
好漂亮的推理
我請教幾位老師的想法
提供另幾種想法如下
其實都很棒喔
謝謝你
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六個稜長都是 1 的正四面體.
六個稜長都是 2 的正四面體.
畫一個三角錐，底面是邊長為 1 的正三角形，頂點到底面正三角形的三頂點距離都是 2.
在空間中取兩段互相歪斜的 AB 線段與 CD 線段，滿足 AB長=CD長=1，且 AC長=AD長=BC長=BD長=2.
底面是三角形ABC 取AC=1,AB長=BC長=2,頂點是D,AD長=CD長=BD長=2 即只有一邊是1,其餘是2
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1 : 四面體有六條棱。
2 : 根據三角不等式，不容釵許邊長為 1,1,2 的三角形。

由以上兩個條件可推 :
如果有 0 條棱為 2 ，可得1個四面體 ;
如果有 1 條棱為 2 ，可得0個四面體 ;
如果有 2 條棱為 2 ，可得0個四面體 ;
如果有 3 條棱為 2 ，可得1個四面體 ;
如果有 4 條棱為 2 ，可得1個四面體 ;
如果有 5 條棱為 2 ，可得1個四面體 ;
如果有 6 條棱為 2 ，可得1個四面體 ;

故一共有 5 種。
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