如題：
簡單來講意思就是(2mn，m^2-n^2，m^2+n^2)(m、n皆為正整數)
是否包含所有的直角三角形的邊長數對？

如果可以的話，麻煩請給一下證明謝謝。
高中

回應

小Y

2008-11-19 16:36
若有正整數X,Y,Z使X^2+Y^2=Z^2成立
1. 設X=p-q,其中p,q互質p>q不失一般姓
則(p-q)^2+Y^2能得完全平方數的要件為判別式4(p-q)^2+4(Y^2)是完全平方
2. 由於p,q互質,取Y^2=4pq時,判別式是完全平方,但4pq本身必不為完全平方,則取Y^2=4pq=4(m^2)(n^2),此時X=(m^2-n^2),其中m,n為正整數,m>n
則(2mn)^2+(m^2-n^2)^2滿足(m^2+n^2)^2
3. 此時,能寫成(m^2-n^2),(2mn)的整數組,恰能構成平方數,反之亦反

小Y

2008-11-20 16:35
如果問題是在於由m,n表示的原數組之嚴格性或稠密性,不妨參考以下:
1. 正整數a,b,c是勾股弦最簡數組,a,b 2. 由c=ar-b,可得b=a(r^2-1)/2r,代回前式又得c=a(r^2+1)/2r
3. a:b:c=2r:(r^2-1):(r^2+1)
當r是正有理數,此數組恰表示所有有理數的勾股弦比例
當r是正整數,此數組恰表示所有整數勾股弦比例...當r是偶數,原式最簡;當r是奇數,r:(r^2-1)/2:(r^2+1)/2最簡
其中僅當r=1不合,r=2時勾與股顛倒
此式等價於m,n的表達式,但是只有單一變數,較好體認.而且給出勾與股至少有一數是3的倍數,也至少有一數是4的倍數相關說明

小Y

2008-11-20 16:57
如果問題是在於由m,n表示的原數組之嚴格性或稠密性,不妨參考以下:
1. 正整數a,b,c是勾股弦最簡數組,a,b 2. 由c=ar-b,可得b=a(r^2-1)/2r,代回前式又得c=a(r^2+1)/2r
3. a:b:c=2r:(r^2-1):(r^2+1)
當r是正有理數,此數組恰表示所有有理數的勾股弦比例
當r是正整數,此數組恰表示所有整數勾股弦比例...當r是偶數,原式最簡;當r是奇數,r:(r^2-1)/2:(r^2+1)/2最簡
其中僅當r=1不合,r=2時勾與股顛倒
此式等價於m,n的表達式,但是只有單一變數,較好體認.而且給出勾與股至少有一數是3的倍數,也至少有一數是4的倍數相關說明

s61302261321

2008-11-23 23:37
可是針對正整數m,n，不保證對所有的X,Y皆可分別表為m^2-n^2,2mn,您以上的証明僅能說明畢氏數對包含於直角三角形數對中，反過來就沒法表示了。

但仍感謝您的回應。

小Y

2008-11-24 10:17
1. 正整數a,b,c是勾股弦最簡數組,設c最大,(b+c)/a=r,r是正有理數
2. 由c=ar-b,可得b=a(r^2-1)/2r,代回前式又得c=a(r^2+1)/2r
3. a:b:c=2r:(r^2-1):(r^2+1)
當r是正有理數,此數組恰表示所有有理數的勾股弦比例
當r是正整數,此數組恰表示所有整數勾股弦比例...當r是偶數,原式最簡;當r是奇數,r:(r^2-1)/2:(r^2+1)/2最簡
其中僅當r=1不合,r=2時勾與股顛倒
此式等價於m,n的表達式,但是只有單一變數,較好體認在整數系的稠密度.而且給出勾與股至少有一數是3的倍數,也至少有一數是4的倍數相關說明