4. 在四邊形ABCD中，AD//BC但AB≠CD，對角線AC與三角形BCD的外接圓另相交於點 A'、與三角形BAD的外接圓另相交於點C' ；對角線BD與三角形ABC的外接圓另相交於點D' 、與三角形ADC的外接圓另相交於點B' 。試證四邊形A'B'C'D' 也有一雙對邊互相平行。（六分）高中 回應 PeterJiang Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第四題 2009-01-13 23:19 我的方法： 因為AD//BC，所以角CBD=角BDA=角BC'A(圓周角相等)，因此ΔOBC≈ΔOC'B。 同理ΔOBC≈ΔOCB'、ΔODA≈ΔOA'D、ΔODA≈ΔOA'D，可得出AD'//A'D、BC'//B'C。 因此OB':OC'=OC:OB= OA:OD=OD':OA' ，ΔOB'C'≈ΔOD'A'，所以A'D'//B'C'。 abc831128 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第四題 2009-01-17 17:26 連A'D、AD'、B'C、BC'、C'D、CD' ∵∠A'DB=∠A'CB=∠AD'B ∴A'D平行AD' 同理B'C平行BC',C'D平行CD' ∵∠A'DB=∠ACB=∠CAD=∠CB'D ∴A'D平行B'C 即A'D、AD'、B'C、BC'都互相平行 OA/OA'=OD'/OD=OC/OC' →OA'/OC'=OA/OC 又OA/OC=OD'/OB' 即OA'/OC'=OD'/OB' 得A'D'平行B'C'
PeterJiang Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第四題 2009-01-13 23:19 我的方法： 因為AD//BC，所以角CBD=角BDA=角BC'A(圓周角相等)，因此ΔOBC≈ΔOC'B。 同理ΔOBC≈ΔOCB'、ΔODA≈ΔOA'D、ΔODA≈ΔOA'D，可得出AD'//A'D、BC'//B'C。 因此OB':OC'=OC:OB= OA:OD=OD':OA' ，ΔOB'C'≈ΔOD'A'，所以A'D'//B'C'。
abc831128 Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第四題 2009-01-17 17:26 連A'D、AD'、B'C、BC'、C'D、CD' ∵∠A'DB=∠A'CB=∠AD'B ∴A'D平行AD' 同理B'C平行BC',C'D平行CD' ∵∠A'DB=∠ACB=∠CAD=∠CB'D ∴A'D平行B'C 即A'D、AD'、B'C、BC'都互相平行 OA/OA'=OD'/OD=OC/OC' →OA'/OC'=OA/OC 又OA/OC=OD'/OB' 即OA'/OC'=OD'/OB' 得A'D'平行B'C'
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PeterJiang
Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第四題
2009-01-13 23:19因為AD//BC，所以角CBD=角BDA=角BC'A(圓周角相等)，因此ΔOBC≈ΔOC'B。
同理ΔOBC≈ΔOCB'、ΔODA≈ΔOA'D、ΔODA≈ΔOA'D，可得出AD'//A'D、BC'//B'C。
因此OB':OC'=OC:OB=
OA:OD=OD':OA'
，ΔOB'C'≈ΔOD'A'，所以A'D'//B'C'。
abc831128
Re: 環球城市數學競賽2008秋季賽高級卷高中組第四題
2009-01-17 17:26∵∠A'DB=∠A'CB=∠AD'B
∴A'D平行AD'
同理B'C平行BC',C'D平行CD'
∵∠A'DB=∠ACB=∠CAD=∠CB'D
∴A'D平行B'C
即A'D、AD'、B'C、BC'都互相平行
OA/OA'=OD'/OD=OC/OC'
→OA'/OC'=OA/OC
又OA/OC=OD'/OB'
即OA'/OC'=OD'/OB'
得A'D'平行B'C'