令f(n)=對所有取自集合{1，2，...，n}的數組
i1小於i2小於...小於ik，k=1，2，...n中1/i1i2...ik的總和，證明f(n)=n對任意正整數n成立
例如:n=3時，f(n)=f(3)=1/1+1/2+1/3+1/1*2+1/2*3+1/3*1+1/1*2*3=3
一開始我是用歸納法證明，不過後來看到解答用了一個很漂亮的解法，想忘都忘不掉
高中

回應

joey

2010-01-29 20:33
可能的話能說明得再詳細一些，這是我的解讀，不知道我的想法有沒有錯?

A1,A2,A3,....Am是集合{1,2,....,n} 除了空集以外所有的子集
對於每個Aj，Tj是Aj中所有元素乘積的倒數
f(n)=T1+T2+...Tm
證明f(n)=n

vic526tor

2010-01-30 12:32
沒錯，因為原題是用sigma寫的，所以我似乎表達的不太清楚。

wanghp

2010-01-30 23:20
歸納法

令g(n)=f(n)-f(n-1)
(請考慮展開式)

顯然g(n)=(1/n)+(1/n)*f(n-1)
(請考慮展開式)

=(1/n)+(1/n)*(n-1)
=1

故得證

vic526tor

2010-01-31 14:21
歸納法也可以，不過有一個我認為更漂亮的解法(考慮韋達定理)

joey

2010-01-31 15:58
運用韋達定理：
構造出函數 g(x)=(x-1)(x-1/2)*.....*(x-1/n)
則n次項係數=1
(n-1)次項係數= -(1+1/2+1/3+...+1/n)
(n-2)次項係數=sigma[1/(1~n中任兩個的乘積)]
......
常數項=(-1)^n /(n!)

所以
f(n)=(-1)^n *g(-1) -1
=(2/1)(3/2)(4/3)(5/4)*......*[(n+1)/n]-1
=n