試證明:若有一個凸多邊形在另一個凸多邊形內，則裡面的凸多邊形周長小於外面的凸多邊形周長
給大家腦力激盪一下，這題很有趣
高中

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myfund168

2010-02-20 22:58
朝內凸多邊形的每一頂點作直線，分割內外凸多邊形：每個內凸多邊形線段都小於凸外多邊形線段。



好像有點問題，再想想.....

vic526tor

2010-02-21 08:44
可是如果外面的凸多邊形邊數小於裡面的凸多邊形邊數呢?
例如外面是四邊形，裡面是八邊形

myfund168

2010-02-21 17:44
WENDYCHI
利用角平分線來分割，看起來相當完美，應該沒問題。

外面的凸多邊形邊數小於裡面的凸多邊形邊數：並不是問題，因為是內凸多邊形的每個邊長，必定小於外凸多邊形的線段，不管外凸多邊形的線段是直線、或彎曲的線段。


lochihsin

2010-02-21 20:41
引用：

WENDYCHI 寫道:
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=bobson860412&b=3&f=1111200612&p=0
如圖
紅色線為角平分線
裡邊的線恆比外邊線長
其實也不一定要角平分線

是不一定要角平分線
至少和邊的夾角要大於90度
至於絕對有可能做得到是因為
凸多邊形的內角小於180度
所以令一個角就大於180度
1/2的那個角就大於90度

vic526tor

2010-02-21 21:49
和邊的夾角要大於90度是必要的
因為若和邊的夾角小於90度
則當三角形ABC的邊AB中間有一點D、邊AC中間有一點E時，DE的長度有可能大於BC
因此畫了角平分線後，只需證明當三角形ABC的邊AB中間有一點D、邊AC中間有一點E且角EDB和角DEC都大於90度時，BC大於DE就能解決問題了
(我還有另一個解法，提示:依序延長裡面凸多邊形的各邊使它們都和外面的凸多邊形的邊相交，再使用放縮法)

a7829545a

2010-04-17 18:10
先做一個新的多邊形，和原本的多邊形重疊
再把新的多邊形的頂點往內拉
（例如：四邊形把一個頂點往內拉，可形成三角形、四邊形或五邊形）
利用三角形２邊和大於第三邊
可得：每次將頂點往內拉，邊常都會變小　　故得證