兩圓 O1(大園) Ｏ2內切於點T AB是原O1的一條弦，和圓O2外切於點S AO2上一點P 求證:PB垂直AB當且僅當PT垂直ST 做了許久還做不出來 希望眾高手幫忙高中 回應 celine.yang06 Re: 難題 2010-09-28 04:37 PB垂直AB當且僅當PT垂直ST就是 由PB垂直AB可以推出PT垂直ST 由PT垂直ST可以推出PB垂直AB 還有， p可以在ao2的延長線上嗎 simon89889 Re: 難題 2010-09-28 06:16 想了好久沒靈感=3= 這題有難到... 等價於STPB為圓內接四邊形，從圖看這個四邊形似乎是從大圓內的某個圓內接四邊形以T為中心旋轉縮放而得到的 然後就卡卡卡... 以上是敝人目前的天真想法 因為大考將近之後沒有很多時間可以上來胡鬧了.. 只好先想了一點放上來好囉 重點應該是直線AO2好像想不到要怎麼使用... zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-09-29 04:54 引用： celine.yang06 寫道: PB垂直AB當且僅當PT垂直ST就是 由PB垂直AB可以推出PT垂直ST 由PT垂直ST可以推出PB垂直AB 還有， p可以在ao2的延長線上嗎 當然可以,因為這是一定的啊...... simon89889 Re: 難題 2010-09-29 06:59 目前有作出左到右... 想到另一邊再補上來 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-09-30 06:53 引用： simon89889 寫道: 目前有作出左到右... 想到另一邊再補上來 可否解釋何謂"左到右"?? simon89889 Re: 難題 2010-09-30 07:03 他說若且為若，所以兩邊都要證 因為一直用雙箭頭一直溝通到另一邊好像很難(就是利用等價條件一直推下去，能這樣可以一次完成)，所以我只好一次推一個方向 若以PB垂直AB為條件可以推到另一邊了 推回來好像很艱難= = 原先推過去的東西都不適用了 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-10-01 04:56 事實上,我想可以這樣 當兩圓和弦AB都固定時 加上PB垂直AB的條件或PT垂直ST的條件 整個圖形就是固定的 當然可以說PT垂直ST時 只有當PB垂直AB時成立吧?? simon89889 Re: 難題 2010-10-01 05:37 蛤.. 這樣說好像也沒錯 如果真的是這樣我已經做完了要打上來嗎?? yankeerock1 Re: 難題 2010-10-01 05:42 所以只要推出一邊就可以了是嗎 好像有道理 可以把一邊的證明打上來嗎 simon89889 Re: 難題 2010-10-01 06:10 現在我們有BP垂直於AB 過T做兩圓的切線L，設L交直線AB於C，直線CO2分別交ST,BP於D,E。 如此，我們要證明的是CO2平行於TP 因為，CDxCO2=CT^2=CBxCA，所以O2,A,B,D四點共圓 又S,D,E,B四點共圓 所以角O2AC=角BDE=角ESB 故SE平行AP，又因為SO2平行BP，所以S,O2,P,E為平行四邊形 ------>EP=SO2=O2T,角PEO2=角SO2C=角TO2C ------>四邊形TPEO2為等腰梯形 ------>CO2平行於TP 所以ST垂直於TP 證畢 zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-10-01 07:09 這麼複雜的圖形(包括輔助線),我想我就算想到了前半段 我也會覺得太煩,把圖形整個塗掉重想吧...... 另外,我再把前面我講的那個說清楚一點好了 極詳細版: 因為若兩圓與弦AB固定 那麼加上PT垂直ST,則整個圖形是固定的 角PTS也就固定了(兩圓與弦AB固定時) 而如果先不管PT是否垂直ST 那麼顯然AB垂直BP是有可能的 而此情況下,PT垂直ST(simon89889證的) 這表明存在PT垂直ST而AB垂直BP的情況 (不管兩圓與弦AB的位置) 而再針對每一種情況 可知PT垂直ST時,AB可垂直BP 又角PTS在每一種情況下皆固定,故只可能為90度 從而AB必垂直BP simon89889 Re: 難題 2010-10-01 07:40 其實也沒有很複雜啦= = 關鍵步的多寡會影響題目的難度 以我的作法關鍵步只有一步 當沒辦法直接證時就要考慮湊一些線段乘積等式了 只是證一個共圓而已，而且兩個相切圓會想到的就是補切線了 想想2008環球的高中組高級卷那題幾何也是很亂啊 可是把一堆圓冪湊在一起就作完了... zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-10-01 08:25 不過看了你的圖,我眼都花了 而且你的圖已經那麼大了 還是有一處交點幾乎在圓周上 對我來說會分不清楚 當然我也想過補切線 但是你的其他輔助線我絕不會再連 連了我會完全亂掉,把整個圖都塗掉重想 我無法像你一樣亂中有序...... 一開始看到題目我想到的就是那個不是很嚴謹的想法...... 我對這種線段很亂的題目就是沒辦法 像你發問的第二個(證F為定點那個) 我就已經受不了了,畫不出來...... 更何況學校才剛教完圓,剛進入"幾何與證明"而已...... yankeerock1 Re: 難題 2010-10-01 20:57 這題是今年建中校隊決選的考題 當時沒有人拿到滿分 相當佩服simon的做法 簡潔有力 不知道是何方神聖 真是強者 b92paul Re: 難題 2010-10-01 22:18 這裡有另一種作法 大圓小圓切點為S 大圓的弦AB切小圓於T 過S作直線L1垂直ST交AB於Y,交小圓於Z 過S作大小圓共同的切線L2交AB於X 過B作垂直AB的直線交L1於B' 現在我們要證AO射線會過B'點就得證(由同一法) 易知ZT會過小圓圓心O且ZT垂直AB於T(ZST是直角) 因為XS=XT且TSY是直角三角形=>所以X為TY中點 所以OX會平行L1(O,X都是中點) 所以OTX會相似B'BY 所以OT:BB'=TX:BY=TX:(2TX-TB) 又因為SX^2=TX^2=XB*XA=(XT-TB):(XT+TA) 所以可知TX:(2TX-TB)=(AT):(AT+TB)=AT:AB 所以OT:BB'=AT:AB 又因角ATO=角ABB' 所以ATO相似ABB' 所以AO射線會過B' 得證(這是AB直線B偏下面時的作法,如果A偏下面時作法類似,運用等式TX^2=(XT-TA):(XT+TB)可得證)
celine.yang06 Re: 難題 2010-09-28 04:37 PB垂直AB當且僅當PT垂直ST就是 由PB垂直AB可以推出PT垂直ST 由PT垂直ST可以推出PB垂直AB 還有， p可以在ao2的延長線上嗎
simon89889 Re: 難題 2010-09-28 06:16 想了好久沒靈感=3= 這題有難到... 等價於STPB為圓內接四邊形，從圖看這個四邊形似乎是從大圓內的某個圓內接四邊形以T為中心旋轉縮放而得到的 然後就卡卡卡... 以上是敝人目前的天真想法 因為大考將近之後沒有很多時間可以上來胡鬧了.. 只好先想了一點放上來好囉 重點應該是直線AO2好像想不到要怎麼使用...
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-09-29 04:54 引用： celine.yang06 寫道: PB垂直AB當且僅當PT垂直ST就是 由PB垂直AB可以推出PT垂直ST 由PT垂直ST可以推出PB垂直AB 還有， p可以在ao2的延長線上嗎 當然可以,因為這是一定的啊......
simon89889 Re: 難題 2010-09-30 07:03 他說若且為若，所以兩邊都要證 因為一直用雙箭頭一直溝通到另一邊好像很難(就是利用等價條件一直推下去，能這樣可以一次完成)，所以我只好一次推一個方向 若以PB垂直AB為條件可以推到另一邊了 推回來好像很艱難= = 原先推過去的東西都不適用了
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-10-01 04:56 事實上,我想可以這樣 當兩圓和弦AB都固定時 加上PB垂直AB的條件或PT垂直ST的條件 整個圖形就是固定的 當然可以說PT垂直ST時 只有當PB垂直AB時成立吧??
simon89889 Re: 難題 2010-10-01 06:10 現在我們有BP垂直於AB 過T做兩圓的切線L，設L交直線AB於C，直線CO2分別交ST,BP於D,E。 如此，我們要證明的是CO2平行於TP 因為，CDxCO2=CT^2=CBxCA，所以O2,A,B,D四點共圓 又S,D,E,B四點共圓 所以角O2AC=角BDE=角ESB 故SE平行AP，又因為SO2平行BP，所以S,O2,P,E為平行四邊形 ------>EP=SO2=O2T,角PEO2=角SO2C=角TO2C ------>四邊形TPEO2為等腰梯形 ------>CO2平行於TP 所以ST垂直於TP 證畢
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-10-01 07:09 這麼複雜的圖形(包括輔助線),我想我就算想到了前半段 我也會覺得太煩,把圖形整個塗掉重想吧...... 另外,我再把前面我講的那個說清楚一點好了 極詳細版: 因為若兩圓與弦AB固定 那麼加上PT垂直ST,則整個圖形是固定的 角PTS也就固定了(兩圓與弦AB固定時) 而如果先不管PT是否垂直ST 那麼顯然AB垂直BP是有可能的 而此情況下,PT垂直ST(simon89889證的) 這表明存在PT垂直ST而AB垂直BP的情況 (不管兩圓與弦AB的位置) 而再針對每一種情況 可知PT垂直ST時,AB可垂直BP 又角PTS在每一種情況下皆固定,故只可能為90度 從而AB必垂直BP
simon89889 Re: 難題 2010-10-01 07:40 其實也沒有很複雜啦= = 關鍵步的多寡會影響題目的難度 以我的作法關鍵步只有一步 當沒辦法直接證時就要考慮湊一些線段乘積等式了 只是證一個共圓而已，而且兩個相切圓會想到的就是補切線了 想想2008環球的高中組高級卷那題幾何也是很亂啊 可是把一堆圓冪湊在一起就作完了...
zaq1bgt5cde3mju7 Re: 難題 2010-10-01 08:25 不過看了你的圖,我眼都花了 而且你的圖已經那麼大了 還是有一處交點幾乎在圓周上 對我來說會分不清楚 當然我也想過補切線 但是你的其他輔助線我絕不會再連 連了我會完全亂掉,把整個圖都塗掉重想 我無法像你一樣亂中有序...... 一開始看到題目我想到的就是那個不是很嚴謹的想法...... 我對這種線段很亂的題目就是沒辦法 像你發問的第二個(證F為定點那個) 我就已經受不了了,畫不出來...... 更何況學校才剛教完圓,剛進入"幾何與證明"而已......
b92paul Re: 難題 2010-10-01 22:18 這裡有另一種作法 大圓小圓切點為S 大圓的弦AB切小圓於T 過S作直線L1垂直ST交AB於Y,交小圓於Z 過S作大小圓共同的切線L2交AB於X 過B作垂直AB的直線交L1於B' 現在我們要證AO射線會過B'點就得證(由同一法) 易知ZT會過小圓圓心O且ZT垂直AB於T(ZST是直角) 因為XS=XT且TSY是直角三角形=>所以X為TY中點 所以OX會平行L1(O,X都是中點) 所以OTX會相似B'BY 所以OT:BB'=TX:BY=TX:(2TX-TB) 又因為SX^2=TX^2=XB*XA=(XT-TB):(XT+TA) 所以可知TX:(2TX-TB)=(AT):(AT+TB)=AT:AB 所以OT:BB'=AT:AB 又因角ATO=角ABB' 所以ATO相似ABB' 所以AO射線會過B' 得證(這是AB直線B偏下面時的作法,如果A偏下面時作法類似,運用等式TX^2=(XT-TA):(XT+TB)可得證)
回應
celine.yang06
Re: 難題
2010-09-28 04:37由PB垂直AB可以推出PT垂直ST
由PT垂直ST可以推出PB垂直AB
還有，
p可以在ao2的延長線上嗎
simon89889
Re: 難題
2010-09-28 06:16這題有難到...
等價於STPB為圓內接四邊形，從圖看這個四邊形似乎是從大圓內的某個圓內接四邊形以T為中心旋轉縮放而得到的
然後就卡卡卡...
以上是敝人目前的天真想法
因為大考將近之後沒有很多時間可以上來胡鬧了..
只好先想了一點放上來好囉
重點應該是直線AO2好像想不到要怎麼使用...
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 難題
2010-09-29 04:54當然可以,因為這是一定的啊......
simon89889
Re: 難題
2010-09-29 06:59想到另一邊再補上來
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 難題
2010-09-30 06:53可否解釋何謂"左到右"??
simon89889
Re: 難題
2010-09-30 07:03因為一直用雙箭頭一直溝通到另一邊好像很難(就是利用等價條件一直推下去，能這樣可以一次完成)，所以我只好一次推一個方向
若以PB垂直AB為條件可以推到另一邊了
推回來好像很艱難= =
原先推過去的東西都不適用了
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 難題
2010-10-01 04:56當兩圓和弦AB都固定時
加上PB垂直AB的條件或PT垂直ST的條件
整個圖形就是固定的
當然可以說PT垂直ST時
只有當PB垂直AB時成立吧??
simon89889
Re: 難題
2010-10-01 05:37這樣說好像也沒錯
如果真的是這樣我已經做完了要打上來嗎??
yankeerock1
Re: 難題
2010-10-01 05:42可以把一邊的證明打上來嗎
simon89889
Re: 難題
2010-10-01 06:10現在我們有BP垂直於AB
過T做兩圓的切線L，設L交直線AB於C，直線CO2分別交ST,BP於D,E。
如此，我們要證明的是CO2平行於TP
因為，CDxCO2=CT^2=CBxCA，所以O2,A,B,D四點共圓
又S,D,E,B四點共圓
所以角O2AC=角BDE=角ESB
故SE平行AP，又因為SO2平行BP，所以S,O2,P,E為平行四邊形
------>EP=SO2=O2T,角PEO2=角SO2C=角TO2C
------>四邊形TPEO2為等腰梯形
------>CO2平行於TP
所以ST垂直於TP
證畢
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 難題
2010-10-01 07:09我也會覺得太煩,把圖形整個塗掉重想吧......
另外,我再把前面我講的那個說清楚一點好了
極詳細版:
因為若兩圓與弦AB固定
那麼加上PT垂直ST,則整個圖形是固定的
角PTS也就固定了(兩圓與弦AB固定時)
而如果先不管PT是否垂直ST
那麼顯然AB垂直BP是有可能的
而此情況下,PT垂直ST(simon89889證的)
這表明存在PT垂直ST而AB垂直BP的情況
(不管兩圓與弦AB的位置)
而再針對每一種情況
可知PT垂直ST時,AB可垂直BP
又角PTS在每一種情況下皆固定,故只可能為90度
從而AB必垂直BP
simon89889
Re: 難題
2010-10-01 07:40關鍵步的多寡會影響題目的難度
以我的作法關鍵步只有一步
當沒辦法直接證時就要考慮湊一些線段乘積等式了
只是證一個共圓而已，而且兩個相切圓會想到的就是補切線了
想想2008環球的高中組高級卷那題幾何也是很亂啊
可是把一堆圓冪湊在一起就作完了...
zaq1bgt5cde3mju7
Re: 難題
2010-10-01 08:25而且你的圖已經那麼大了
還是有一處交點幾乎在圓周上
對我來說會分不清楚
當然我也想過補切線
但是你的其他輔助線我絕不會再連
連了我會完全亂掉,把整個圖都塗掉重想
我無法像你一樣亂中有序......
一開始看到題目我想到的就是那個不是很嚴謹的想法......
我對這種線段很亂的題目就是沒辦法
像你發問的第二個(證F為定點那個)
我就已經受不了了,畫不出來......
更何況學校才剛教完圓,剛進入"幾何與證明"而已......
yankeerock1
Re: 難題
2010-10-01 20:57不知道是何方神聖 真是強者
b92paul
Re: 難題
2010-10-01 22:18大圓小圓切點為S
大圓的弦AB切小圓於T
過S作直線L1垂直ST交AB於Y,交小圓於Z
過S作大小圓共同的切線L2交AB於X
過B作垂直AB的直線交L1於B'
現在我們要證AO射線會過B'點就得證(由同一法)
易知ZT會過小圓圓心O且ZT垂直AB於T(ZST是直角)
因為XS=XT且TSY是直角三角形=>所以X為TY中點
所以OX會平行L1(O,X都是中點)
所以OTX會相似B'BY
所以OT:BB'=TX:BY=TX:(2TX-TB)
又因為SX^2=TX^2=XB*XA=(XT-TB):(XT+TA)
所以可知TX:(2TX-TB)=(AT):(AT+TB)=AT:AB
所以OT:BB'=AT:AB
又因角ATO=角ABB'
所以ATO相似ABB'
所以AO射線會過B'
得證(這是AB直線B偏下面時的作法,如果A偏下面時作法類似,運用等式TX^2=(XT-TA):(XT+TB)可得證)