※ 每題必須詳細寫下證明及理由，只寫答案不一定有分數。

1. 有五位學生的姓分別為Clarkson、Donaldson、Jackson、Robinson、Stevenson，而他們的名字為Clark、Donald、Jack、Robin、Steve (不一定依相同順序)。已知：
(a) Clark比Clarkson大一歲；
(b) Donald比Donaldson大二歲；
(c) Jack比Jackson大三歲；
(d) Robin比Robinson大四歲；
請問Steve與Stevenson誰年紀比較大？大幾歲？（三分）

2. 令 c(n)表示正整數 n 的質因數個數。(例如 C(10)=2、 C(11)=1、 C(12)=2。) 當 a不等於b時，請問滿足 C(a+b)=C(a)+C(b))的正整數對(a, b)為有限多對還是無限多對？（四分）

3. 在一個 10x10方格表的踩地雷遊戲中，每個小方格內都可能藏有一枚地雷或沒有地雷。在每個沒有地雷的小方格內寫上與此小方格有公共邊或公共頂點的所有小方格內藏有地雷的總數。現若將所有的地雷移除，而在原沒有地雷的小方格內都放一枚地雷，然後在現在沒有地雷的小方格內寫上與此小方格有公共邊或公共頂點的所有小方格內藏有地雷的總數。請問有沒有可能使最後所有方格內所填的數之總和大於原來所有方格內所填的數之總和？（五分）

4. 一個圓與一個平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD分別切於點K、L、M。證明：直線KL平分由點C向平行四邊形AB邊上所作的高。（五分）

5. 有數項郊遊行程供全班20位學生參加，每項行程至少有一位學生參加。證明存在有一項行程使得參加此項行程的每位學生參加郊遊的項數至少為此班所有學生參加郊遊項數的 1/20。（五分）
高中

回應

hansonyu123

2012-11-20 05:07
附上每題略證/簡答

1.Stevenson大十歲

2.有兩種做法
a=2^n，b=2^(n+1)
或令C(a)+C(b)<C(a+b)
a和b同乘以(C(a+b)-C(a)-C(b))個相異質數就可以了

3.證明改變一格的狀態後總和差不變，再舉一例說明總和差為0。故不可能令改變後比改變前總和大。

4.孟氏定理：
CE/EH * HK/KB * BL/LC=1

5.設行程有20k+n項(1<=n<=20，n k為整數)，有a位學生未達1/20 (即至多參加k參行程)
反證法：若命題不成立，則每個行程中至少有一人為a人中的其中一人

故ak>=20k+n，得到矛盾