※ 每題必須詳細寫下證明及理由，只寫答案不一定有分數。

1. 在一個 mxn方格表的踩地雷遊戲中，每個小方格內都可能藏有一枚地雷或沒有地雷。在每個沒有地雷的小方格內寫上與此小方格有公共邊或公共頂點的所有小方格內藏有地雷的總數。現若將所有的地雷移除，而在原沒有地雷的小方格內都放一枚地雷，然後在現在沒有地雷的小方格內寫上與此小方格有公共邊或公共頂點的所有小方格內藏有地雷的總數。請問有沒有可能使最後所有方格內所填的數之總和大於原來所有方格內所填的數之總和？(四分）

2. 給定一個凸多面體、一個空心的圓球與此多面體的每條邊都相交於二點，且此二點都將該條邊三等分。請問此多面體的每個面是否必定為
(a) 互相全等的多邊形；（二分）
(b) 正多邊形？（三分）

3. 有數項郊遊行程供全班20位學生參加，每項行程至少有四位學生參加。證明存在有一項行程使得參加此項行程的每位學生參加郊遊的項數至少為此班所有學生參加郊遊項數的1/17 。（五分）

4. 令 表示正整數 的質因數個數。(例如 C(10)=2、 C(11)=1、 C(12)=2。)
(a) 當 a不等於b時，請問滿足C(a+b)=C(a)+C(b) 的正整數對(a, b)為有限多對還是無限多對？（二分）
(b) 如果還另外要求 C(a+b)大於1000，則滿足 C(a+b)=C(a)+C(b) 的正整數對(a, b)為有限多對還是無限多對？（三分）

5. 在239枚外觀完全相同的硬幣之中有二枚重量相同的假幣，其他都是重量相同的真幣，假幣與真幣之重量不相同。請利用沒有刻度的兩臂天平稱三次，確定假幣比真幣重還是輕。並不要求找出這二枚假幣。（五分）
高中

回應

hansonyu123

2012-11-20 05:12
我只解出3題…

1.同國中卷3.

3.順便推廣

每題至少有(21-x)人做出來
所有題目的1/x
設共有xk+n道題目(n=1~x-1)，a人未達標準(即k)
反證法：若成立

先證：a>=x+1
因為每題至少都有一人為a人中的一人
故ak>=xk+n，a>=x+1 (因為n>0)

再來導出矛盾
因為有20-a個人超過標準
下面會證明沒辦法每題都至少有(21-x)個人做出來
令20-a個人都做所有題目
則ak>=(-x+a+1)(xk+n)
(a-x)(x-1)k+(a-x+1)n<=0
又a-x>0，x-1>=0，a-x+1>0
故(a-x)(x-1)k+(a-x+1)n>0，矛盾

從而命題得證

4.類國中卷2.
(b)可以以2.的第二種想法為基礎做出多種答案

justpoppingin

2012-11-20 06:16
5.
將249枚硬幣依序編號，並分成以下3組：
A組：1~80
B組：81~160
C組：160~249
前兩次為A跟B比較、A跟C比較，
接著分析假幣可能性與前兩次情況決定第三步(暫不公開)。

hansonyu123

2012-11-21 04:54
引用：

justpoppingin 寫道:
5.
將249枚硬幣依序編號，並分成以下3組：
A組：1~80
B組：81~160
C組：160~249
前兩次為A跟B比較、A跟C比較，
接著分析假幣可能性與前兩次情況決定第三步(暫不公開)。


原來如此…
我一開始只有想到240的做法，又覺得把兩枚硬幣丟在旁邊似乎做不出來

嗯…我再想想…

scottwang

2012-11-26 06:16
請注意：硬幣總數是239枚喔！
引用：

justpoppingin 寫道:
5.
將249枚硬幣依序編號，並分成以下3組：
A組：1~80
B組：81~160
C組：160~249
前兩次為A跟B比較、A跟C比較，
接著分析假幣可能性與前兩次情況決定第三步(暫不公開)。

hansonyu123

2012-11-27 05:13
引用：

scottwang 寫道:
請注意：硬幣總數是239枚喔！
引用：

justpoppingin 寫道:
5.
將249枚硬幣依序編號，並分成以下3組：
A組：1~80
B組：81~160
C組：160~249
前兩次為A跟B比較、A跟C比較，
接著分析假幣可能性與前兩次情況決定第三步(暫不公開)。

相信只是筆誤
因為他的解法似乎就是239的解法