假設有2個整數A,B 已知(A,B)=1 (A,B 最大公因數=1),
證明:(A^2,B^2)=1


謝謝各位!!
高中

回應

Dawsen

2003-01-03 21:23
設(A^2,B^2)=k,k>1
則k有若干個質因數,設其中一個為p
則p|A^2=>p|A
p|B^2=>p|B
=>p|(A,B)
(A,B)不為1
矛盾

訪客 (未驗證)

2003-05-15 00:04
提供另一個證法，
所謂的最大公因數表現定理也是很好用的。
Lemma：(a,c)=(b,c)=1 =>(ab,c)=1
pf: 因(a,c)=(b,c)=1所以存在p,q,r,s(整數)使得
pa+qc=rb+sc=1
故1=(pa+wc)(rb+sc)=ab(pr)+c(wsc+rbw+spa)
從而(ab,c)=1

原題：
PF:用這個Lemma可以馬上得到：
因(a,b)=(a,b)=1所以(a^2,b)=1
因(a^2,b)=(a^2,b)=1所以(a^2,b^2)=1

mathematics1

2003-05-16 17:25
參考：154 蘇聯青年數學科普叢書(2)算術基本定理

剛剛才看...證ㄉ滿有趣低QQ (哇馬戲國三)

訪客 (未驗證)

2003-07-18 17:20
電腦無法打出小的3嘛
引用：

ninja 寫道:
非常感謝
:drum:

訪客 (未驗證)

2003-08-24 14:02
其實很簡單的道理....ab的因數不同，自乘後當然不會一樣，只是要用公式證明

訪客 (未驗證)

2003-08-25 14:50
當然是1囉
你們看看嘛!
假設A,B的公因數是1，那A的2次方B的2次方不就是等於A乘A、B乘B，可是他們的最大公因數是1，那他們都乘上他們自己的數(就是兩個互質的數乘上兩個互質的數)，所以結果很簡單的就知道他們的2次方的最大公因數也一定是1。

如果以上寫錯的話，請多多包容，畢竟我才只是一個小學生而已!!