e ^ i π = - 1，如何證明? 高中 回應 Fernando Re: 為什麼e ^ i π = - 1? 2004-05-28 22:49 歐拉好像是由這個公式推出來的 iφ=㏑(cosφ+i sinφ) -> e^ix=cos x+i sin x -> 設x=π,e^iπ=cosπ+i sinπ -> e^iπ+1=0。 詳細證明我不大清楚,但這裡有一篇關於1^i的證明,看會不會對你有幫助. http://phpbb.mathdb.org/ 裡的High School Maths中的次方問題. 課業有點忙,所以好久沒上來啦^^ 訪客 (未驗證) Re: 為什麼e ^ i π = - 1? 2004-05-29 08:39 請參考《神奇的複數》一書。 孫文先敬上 Fernando Re: 為什麼e ^ i π = - 1? 2004-05-31 18:41 出版社的網址連不上去ㄟ. 請問"神奇的複數"一書九張現在有再販售嗎? 找了幾家書局都找不到, 訪客 (未驗證) Re: 為什麼e ^ i π = - 1? 2004-07-09 20:53 先用泰勒展開式去逼近 e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+… 此時x代入iθ 整理得到的式子 e^iθ=(1-θ^2/2!+θ^4/4!+…)+i(θ-θ^3/3!+θ^5/5!+…) 又剛好實部部分等於cosθ 虛部部分等於sinθ 這些都是用泰勒展開式逼近ㄉ 即e^iθ=cosθ+isinθ θ代入π即得e^iπ=-1 恩 這些東西都是由尤拉想出來ㄉ 大概大二的工程數學一定會用到吧 如果你是理工科ㄉ話
Fernando Re: 為什麼e ^ i π = - 1? 2004-05-28 22:49 歐拉好像是由這個公式推出來的 iφ=㏑(cosφ+i sinφ) -> e^ix=cos x+i sin x -> 設x=π,e^iπ=cosπ+i sinπ -> e^iπ+1=0。 詳細證明我不大清楚,但這裡有一篇關於1^i的證明,看會不會對你有幫助. http://phpbb.mathdb.org/ 裡的High School Maths中的次方問題. 課業有點忙,所以好久沒上來啦^^
訪客 (未驗證) Re: 為什麼e ^ i π = - 1? 2004-07-09 20:53 先用泰勒展開式去逼近 e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+… 此時x代入iθ 整理得到的式子 e^iθ=(1-θ^2/2!+θ^4/4!+…)+i(θ-θ^3/3!+θ^5/5!+…) 又剛好實部部分等於cosθ 虛部部分等於sinθ 這些都是用泰勒展開式逼近ㄉ 即e^iθ=cosθ+isinθ θ代入π即得e^iπ=-1 恩 這些東西都是由尤拉想出來ㄉ 大概大二的工程數學一定會用到吧 如果你是理工科ㄉ話
e ^ i π = - 1，如何證明? e ^ i π = - 1，如何證明?
回應
Fernando
Re: 為什麼e ^ i π = - 1?
2004-05-28 22:49iφ=㏑(cosφ+i sinφ)
-> e^ix=cos x+i sin x
-> 設x=π,e^iπ=cosπ+i sinπ
-> e^iπ+1=0。
詳細證明我不大清楚,但這裡有一篇關於1^i的證明,看會不會對你有幫助.
http://phpbb.mathdb.org/
裡的High School Maths中的次方問題.
課業有點忙,所以好久沒上來啦^^
訪客 (未驗證)
Re: 為什麼e ^ i π = - 1?
2004-05-29 08:39孫文先敬上
Fernando
Re: 為什麼e ^ i π = - 1?
2004-05-31 18:41請問"神奇的複數"一書九張現在有再販售嗎?
找了幾家書局都找不到,
訪客 (未驗證)
Re: 為什麼e ^ i π = - 1?
2004-07-09 20:53e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…
此時x代入iθ
整理得到的式子
e^iθ=(1-θ^2/2!+θ^4/4!+…)+i(θ-θ^3/3!+θ^5/5!+…)
又剛好實部部分等於cosθ
虛部部分等於sinθ
這些都是用泰勒展開式逼近ㄉ
即e^iθ=cosθ+isinθ
θ代入π即得e^iπ=-1
恩 這些東西都是由尤拉想出來ㄉ
大概大二的工程數學一定會用到吧
如果你是理工科ㄉ話