該如何用歸納法證2的n次方(n>1且為整數)不為平方數亦不為立方數高中 回應 訪客 (未驗證) Re: 如何證 2004-08-21 05:09 2^2=4是平方數，命題錯﹗ by vanish 訪客 (未驗證) Re: 如何證 2004-08-23 16:11 sorry! 是證2^n-1(n>1) galois5 Re: 如何證 2004-08-23 23:31 直接用反證法證明： 若 2^n-1=x^2 (n > 1) 則 x^2-1=(x-1)(x+1) 其中明顯 x 為奇數，所以 4 為 x^2-1的因數. 但 x^2-1=2(2^(n-1)-1) 後式括弧內為奇數，4 不為 x^2-1的因數. 此矛盾說明 平方數假設錯誤. -------------------------------------------------- 立方數 若 2^n-1=x^3 (n > 1) 則 2^n = x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) x 為 大於1的奇數，所以 x^2-x+1 亦為奇數，但 2 的次方不可能有奇數因數，矛盾.
galois5 Re: 如何證 2004-08-23 23:31 直接用反證法證明： 若 2^n-1=x^2 (n > 1) 則 x^2-1=(x-1)(x+1) 其中明顯 x 為奇數，所以 4 為 x^2-1的因數. 但 x^2-1=2(2^(n-1)-1) 後式括弧內為奇數，4 不為 x^2-1的因數. 此矛盾說明 平方數假設錯誤. -------------------------------------------------- 立方數 若 2^n-1=x^3 (n > 1) 則 2^n = x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) x 為 大於1的奇數，所以 x^2-x+1 亦為奇數，但 2 的次方不可能有奇數因數，矛盾.
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Re: 如何證
2004-08-21 05:09by vanish
訪客 (未驗證)
Re: 如何證
2004-08-23 16:11是證2^n-1(n>1)
galois5
Re: 如何證
2004-08-23 23:31若 2^n-1=x^2 (n > 1)
則 x^2-1=(x-1)(x+1)
其中明顯 x 為奇數，所以 4 為 x^2-1的因數.
但 x^2-1=2(2^(n-1)-1) 後式括弧內為奇數，4 不為 x^2-1的因數.
此矛盾說明 平方數假設錯誤.
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立方數
若 2^n-1=x^3 (n > 1)
則 2^n = x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)
x 為 大於1的奇數，所以 x^2-x+1 亦為奇數，但
2 的次方不可能有奇數因數，矛盾.