環球城市數學競賽 2004春季賽國中組初級卷參考解答第二題

環球城市數學競賽 2004春季賽國中組初級卷參考解答第二題

原文：
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2. 設n為正整數，如果存在有n個連續的整數(包括正整數、
0及負整數)之和為質數，試求n的所有可能值。(三分)
解：
顯而易見，n＝1是可以的：只要取任何一個質數即可。
n＝2也可以：任何一個奇質數p都可以寫成2個連續整數的和p＝(p-1)/2+(p+1)/2
假設存在某一質數p＝a＋(a＋1) ＋(a＋2)＋…＋(a＋k)，其中a為整數、k≧2；
則
2p
＝[a＋(a＋1) ＋(a＋2)＋…＋(a＋k)]＋[(a＋k)＋(a＋k－1) ＋(a＋k－2)＋…＋a]
＝(k＋1) (2a＋k)

(k＋1)與(2a＋k)均為大於2的整數，與p為質數矛盾，所以n＝1或2。
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疑問：
上式中的 2a＋k 不一定大於2，也可能等於 1 或 2，也就是
a=(k-1)/2，當 k=2p-1 為奇數；或 a=(k-2)/2 當 k=p-1 為偶數.

例如：
3=(-2)+(-1)+0+1+2+3， n=6. 3 = 0+1+2,n=3.
5=(-1)+0+1+2+3,n=5.

所以 n =1,p,2p 為任意質數.