2004秋季賽題目：

設P(x)及Q(x)均為非常數的多項式。
對於每一個x，都有P(P(x))=Q(Q(x))，
且P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x)))。
請問是否能保證P(x)=Q(x)？


此題乍看之下非常的簡單，想一想配分有點多，
其中必定有詐，才發現它的深奧。
考中學生似乎是過份了些。我覺得。
高中

回應

訪客 (未驗證)

2004-10-21 18:05
如果 P(P(x)) 的領導係數是奇次那就涵誘F整個 R 可以由 P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x)))=Q(P(P(x))) 一下得證
如果是偶次
就設 P(x)=Q(x)+r(x)
當 x 在 P(P(x)) 值域中時
P(x)=Q(x)
即 Q(x)+r(x)=Q(x),r(x)=0有無限多根
所以r(x)=0
於是 P(x)=Q(x)

訪客 (未驗證)

2004-10-21 22:57
他是說設P(x)=Q(x)+R(x)
由於Q(Q(x)) =P(P(x)) 且都是多項式
那麼它的值域會有無限多元素
而Q(Q(Q(x))) =P(P(P(x)))
把 Q(Q(x))=P(P(x)) 都用 k 代
則有無限多個不同的 k 使得 P(k)=Q(k)
即Q(k)+R(k)=Q(k)
即R(k)=0
無論如何 R(x) 的次數是有限的
具有無限多零根顯示了 R(x)=0
所以 P(x)=Q(x)+R(x)=Q(x)+0=Q(x)

ALPHONSE

2004-10-22 09:09
和我寫得一樣。
不過我在考試時想了好一會兒，
沒想到大家一眼就看穿了。
數學素養不夠，有待加油.......