極限問題

嗚.....雖然看的懂卻完全不知該如何算，我真是笨啊...

第二題：

先從左邊趨近於1，再從右邊趨近於1，因為左極限不等於右極限，所以極限不存在

1)答:-1
2)答:不存在
3)看不懂題目
4)答:分兩種情形，得k=1991或任意實數
5)答:不存在
6)答:6

1)=lim[(1-e^y)/(x+e^y)]，x→0+，y=1/x→+∞
=lim[(1-e^y)/e^y]，y→+∞
=lim[(1/e^y-1)，y→+∞
=-1

2)左極限=lim[(x+1)e^y]，x→1-，y→-∞
=2*0=0
右極限=lim[(x+1)e^y]，x→1+，y→+∞
=2lim[e^y]，y→+∞
=∞
左右極限不相等，無極限逼近值，即所求不存在

3)看不懂題目

4)
情形(1)﹕若n=x，則A=lim{n^1990/[n^(k-1)-C(n,2)n^(k-2)+-…]}，n→+∞
因為A為某非0或→+∞,之固定值
故k-1=1990，即k=1991
情形(2)﹕(2)若n與x無關，則給定A值時，仍可得到n與k之二元一次方程式
即k解為任意實數

5)當x→∞時，cotx(1/sinx-1/x)=cosx(x-sinx)/[x(sinx)^2]
→xcosx/[x(sinx)^2]→cos/(sinx)^2，令為f(x)
當x→0 時，f(x)→∞﹔當x→π/2 時，f(x)→0
故極限值不存在。
[在此，是因為極限值不唯一。或更精確地說，是當x歷經所有正實數時
f(x)也歷經了無數個聚攏點(cluster point)]

6)=lim{[(3/y+5y)sin(2y)]/(5+3y)}，x→+∞，y=1/x→0+
=lim[6sin(2y)/(2y)]，(2y)→0+
=6lim[sint/t]，t→0+
=6

5)解修正﹕
當x→2nπ 時，f(x)→∞﹔當x=2nπ+π/2 時，f(x)=0