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      /  1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4
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zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4=多少??
有這樣的總和公式嗎??
我研究出來了!!甚至x次方(x為正整數)都能做!!
幫忙檢查下:

1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4=
{n(n+1)(2n+1)[3(n^2)+3n-1]}/30


_________________
思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-06-28 21:40個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

在網路上找了一段時間,原來有......
正確的
我的方法:
設f(x)=1^4+2^4+......+(x-1)^4+x^4=a(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f
f(1)=1^4=1
f(n)-f(n-1)=n^4
以f(x)=a(x^5)+b(x^4)+c(x^3)+d(x^2)+ex+f代入
能得一堆的聯立方程式,解開即可




這裡的聯立方程式其實不煩,將f(n-1)展開才煩
證明用數學歸納法即可
...... 因式分解我是亂除找出因式來分解的......


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思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-06-28 23:21個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

下一個目標:連續正整數倒數和
有這個總和公式嗎??
我目前還尚未找到
要研究了!!


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 2010-06-28 23:25個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
scott.choing
Just popping in



註冊日: 2010-06-29
發表數: 1


 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

沒有,它是發散級數
但連續正整數平方倒數和有
你可以試試看

 2010-06-29 17:54個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

是不是發散級數跟總和公式的存在與否應該沒有關係

 2010-06-29 20:21個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

是啊,我又不是要求無窮級數......
還有連續正整數倒數平方和你是要求無窮級數還是總和公式??


若有人有想法,可以提出來,謝謝!!


目前想到:
用上面的方法
f(1)=1
f(n)-f(n-1)=1/n
若能找到f(x),就找出公式了
另外想到能滿足f(n)-f(n-1)=1/n的話,調整常數項即可滿足f(1)=1了!!
現在在想f(x)應該長啥樣子


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思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-06-29 21:12個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

自古以來很多數學家都研究過也沒有什麼結果
而且這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加
也有其他可以研究的
EX:費氏數的和、平方和、立方和...
盧氏數的和、平方和、立方和...
或著巴斯卡三角形上的隨便一列的和、平方和、立方和...


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BBBB----OOO---BBBB-----SSSS---OOO----N------N
B-----B-O-----O--B-----B-S---------O-----O---NN----N
BBBB--O------O-BBBB-----SSS---O------O--N--N--N
B-----B-O-----O--B-----B---------S-O-----O---N----NN
BBBB----OOO---BBBB----SSSS----OOO----N------N

超混的俱樂部成員

 2010-06-29 22:53個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加
啥意思??
費氏數是啥??
盧氏數是啥??
就因為很難,所以才有思考的機會


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思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-06-29 22:58個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

有一點點進展了!!
公式不可能是B/A,其中A,B為多項式
不太會講證明,不過確實是證出來了


這使我感覺更難找出來了,總覺得公式好像不存在......


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思考數學------"樂趣"與"收穫"都能兼得

 2010-06-30 21:11個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
WENDYCHI
Home away from home



註冊日: 2007-08-27
發表數: 987
^^^ ( ^_^ |||) ^^^

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加啥意思??
費氏數是啥??
盧氏數是啥??


實際加加看就知道我說的意思
引文:

費氏數是啥??
盧氏數是啥??



費波納西數
盧卡斯數


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超混的俱樂部成員

 2010-06-30 21:14個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

修正:多項式裡x的分數次方未證實
因為(x-1)^(分數)應該不一定=x^(分數)-(分數)[x^(分數-1)]+......
(前面改過了......)


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 2010-06-30 21:44個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
Quarterback
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註冊日: 2009-12-07
發表數: 19


 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

別懷疑...它是對的

BTW, 我兩年前有對這類的總和問題做點小研究...

最初步的發現是....

它竟然可以和微積分扯上關係!!

還有呀...

所有的1~k的n次方和公式可以用你的聯立方程做出來也是對的

不過我那時是用數學歸納法研究出來的...而且有通式可以表達"1~k的n次方和"這個數

證明同樣用數歸證得...

你可以也來試試看...除了細心不能出錯之外其實找出通式算是很簡單了....

對了...給你一個提示

你找到的那個分母30呀.....其實是從"120"約分來的...而這個120則是5!

3次方和的分母4...事實上是由24約分來的...它等於4! 喔

還有通式裡的分子是有規律的...可以試著找找看!!

 2010-07-01 00:39個人資料
vic526tor
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-17
發表數: 86


 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

題外話:
請問BTW是by the way的意思嗎?

 2010-07-01 10:42個人資料
Quarterback
Just popping in



註冊日: 2009-12-07
發表數: 19


 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

引文:

vic526tor 寫道:
題外話:
請問BTW是by the way的意思嗎?



嗯...沒錯 BTW= by the way

我是看到標題讓我想到以前做過的小專題...

 2010-07-01 19:12個人資料
simon89889
Just can't stay away



註冊日: 2008-05-13
發表數: 89


 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

這樣大概就是在找多項式的泰勒展開式了

 2010-07-01 20:23個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

引文:

Quarterback 寫道:
別懷疑...它是對的

......


是說哪個對啊??


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 2010-07-01 20:50個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
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發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

引文:

zaq1bgt5cde3mju7 寫道:
有一點點進展了!!
公式不可能是B/A,其中A,B為多項式
不太會講證明,不過確實是證出來了


這使我感覺更難找出來了,總覺得公式好像不存在......


粗略證明一下:
若m(x),n(x)為多項式,設公式=n(x)/m(x)
則[n(x)/m(x)]-[n(x-1)/m(x-1)]=1/x
若deg[m(x)]=deg[n(x)]=a次,會得2a-1大於等於2a,故矛盾
若deg[m(x)]不=deg[n(x)]
會得deg[m(x)]=deg[n(x)],故矛盾
得證:公式不為n(x)/m(x)


註:deg[f(x)]=多項式f(x)的最高次數


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 2010-07-01 21:30個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

引文:

WENDYCHI 寫道:
自古以來很多數學家都研究過也沒有什麼結果
而且這個公式的分母應該是以階乘級的速度增加
也有其他可以研究的
EX:費氏數的和、平方和、立方和...
盧氏數的和、平方和、立方和...
或著巴斯卡三角形上的隨便一列的和、平方和、立方和...


費氏數前n項和有已知公式嗎??
目前解到:
S(x)代表費氏數前x項之和,S(1)=1,S(2)=2,S(n)=S(n-2)+S(n-1)+1
求S(n)=??
解出來就知了


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 2010-07-01 21:41個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7
myfund168
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註冊日: 2009-05-18
發表數: 148


 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

joey 在 [ Re: 二次方和三次方合公式的導法 ] http://www.chiuchang.org.tw/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=3321&forum=7#20447
一文中,寫得很好啊!為何大家還再吵 ?

joey 看到一定很傷心!

PS: zaq1bgt5cde3mju7 公布的公式若是正確的,是否要化簡一下 ?

 2010-07-01 22:28個人資料
zaq1bgt5cde3mju7
Home away from home



註冊日: 2010-04-03
發表數: 559
台灣台中市

 Re: 1^4+2^4+......+(n-1)^4+n^4

那時我還未加入會員
原來之前討論過了......


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 2010-07-05 04:46個人資料傳送 Email 給 zaq1bgt5cde3mju7


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