環球城市數學競賽2006秋季賽國中組初級卷第3題

引用：

ej0cl6 寫道:
(a)在黑板上任意寫下2007個大於1的正整數.試證:您必定可以擦掉黑板上的某一個數,使得剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. (二分)

(b)在黑板上有2007個大於1的正整數,其中一個數為2006,且已知這2007個數中恰好只能找到一個數,使得擦去這個數後剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. 試證:這個唯一的數是2006. (二分)

這題我有寫但不確定

這題其實只要利用a^2-b^2=(a+b)(a-b).
其中設a+b=x a-b=y x和y必須奇偶性相同即可.
如果有兩個以上的偶數.我們就能將擦去某數餘下的2006數(除那兩個偶數外)的積分成二組.分別去乘其他兩個偶數就行了.
若只有一偶數,就必須擦掉它.否則擦去一奇數所餘下的2006數無論怎麼分都是偶乘奇的情況.(b部份的2006就是如此,所以當然要擦2006啦)

樓上的這樣寫不行喔
因為如果偶數屬於4K(K屬於R)
那擦去奇數就成立了
(若總積為P)
則令a=(P/4)+1
b=(P/4)-1
則a、b皆為正整數
必須將唯一的偶數視為2*(2M-1){M屬於R}才可

引用：

s87009812 寫道:
若只有一偶數,就必須擦掉它.否則擦去一奇數所餘下的2006數無論怎麼分都是偶乘奇的情況

請問出現偶乘奇的情況會如何??

舉例來說吧...
假設有5個數好了....
3 8 9 7 4 擦去8和4外的任何數,設擦3.
剩下相乘為8*9*7*4=72*28=(50+22)(50-22)=50^2-22^2
若為 3 5 7 9 2 則必擦2 3*5*7*9=35*27=(31+4)(31-4)=31^2-4^2
請問您是哪裡有問題?

引用：

linian 寫道:

引用：

s87009812 寫道:
若只有一偶數,就必須擦掉它.否則擦去一奇數所餘下的2006數無論怎麼分都是偶乘奇的情況

請問出現偶乘奇的情況會如何??

喔喔...我懂了.
不過這樣子會被扣分嗎?
因為我還是有說明可以擦某個數使題目成立.
且我也有寫如果不擦2006,就會形成偶乘奇的情況.
只是可能不嚴謹就是了...

引用：

ej0cl6 寫道:
(a)在黑板上任意寫下2007個大於1的正整數.試證:您必定可以擦掉黑板上的某一個數,使得剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. (二分)

(b)在黑板上有2007個大於1的正整數,其中一個數為2006,且已知這2007個數中恰好只能找到一個數,使得擦去這個數後剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. 試證:這個唯一的數是2006. (二分)

我的做法是,先令剩下2006個數之積為2x+1(x為正整數)此時令a-b=1,a=b+1代入得a^2-b^2=2b+1=2x+1,得x=b,故可表示成(x+1)^2-x^2即為a^2-b^2,偶數則是令a-b=2,a=b+2,代入得4b+4=4(b+1),故必有4的倍數,
令2006個數之積為4k(k為正整數),則4k=4(b+1),k=b+1,在代入就證明完畢,我們在下列那項即知一定要為4的倍數,但2006不為4的倍數,故(b)大概就是這樣

對了
這次都沒看到孫老師來解答

太忙了吧...況且這才考完第一天而已.
馬上就要孫老師來,是有點說不過去.

引用：

s87009812 寫道:
舉例來說吧...
假設有5個數好了....
3 8 9 7 4 擦去8和4外的任何數,設擦3.
剩下相乘為8*9*7*4=72*28=(50+22)(50-22)=50^2-22^2
若為 3 5 7 9 2 則必擦2 3*5*7*9=35*27=(31+4)(31-4)=31^2-4^2
請問您是哪裡有問題?

如果說是3 5 7 9 4，則不一定要擦去4
3*4*5*7=420=106^2-104^2
而您前面說
"若只有一偶數,就必須擦掉它"
是不一定的

引用：

linian 寫道:

引用：

s87009812 寫道:
舉例來說吧...
假設有5個數好了....
3 8 9 7 4 擦去8和4外的任何數,設擦3.
剩下相乘為8*9*7*4=72*28=(50+22)(50-22)=50^2-22^2
若為 3 5 7 9 2 則必擦2 3*5*7*9=35*27=(31+4)(31-4)=31^2-4^2
請問您是哪裡有問題?

如果說是3 5 7 9 4，則不一定要擦去4
3*4*5*7=420=106^2-104^2
而您前面說
"若只有一偶數,就必須擦掉它"
是不一定的

我在前面有回答了. 但...這樣會被扣分嗎?

不一定吧，看評審心情^^

引用：

linian 寫道:
不一定吧，看評審心情^^

每位考生的每一題都經過數位評審初複鴃A出錯的機率不大。
評審訂有各種作答情況之評分標準，無所謂心情問題。

引用：

孫文先 寫道:

引用：

linian 寫道:
不一定吧，看評審心情^^

每位考生的每一題都經過數位評審初複鴃A出錯的機率不大。
評審訂有各種作答情況之評分標準，無所謂心情問題。

謝謝孫老師指教