1.6個數被放置在給定的圓周上,滿足條件:設A,B,C是順時針方向一個緊接一個排在圓周上,則A=│B-C│.已知所放置的所有數總合等於1,試求所有這些數
2.求以下方程組全部的實數解
(a3+a4+a5)^5=3a1
(a4+a5+a1)^5=3a2
(a5+a1+a2)^5=3a3
(a1+a2+a3)^5=3a4
(a2+a3+a4)^5=3a5
國中

回應

j7631103

2007-02-19 13:31
3.設實數a,b,c,d滿足
a^3+b^3+c^3+d^3=a+b+c+d=0
求證:這些數中必有兩個數,它們的和為0
4.考慮方程x^2+y^3=z^2的正整數解,它的解是有限多解還是無限多解
5.是否存在100個正整數,使得他們的和等於他們的最小公倍數
6.在三角形ABC中,角A=90度,AC>AB,我們在AC邊上選出點E,在BC邊上選出點D,使得AB=AE=BD
求證:角AED=90度的充分必要條件是
AB:AC:BC=3:4:5

j7631103

2007-02-20 22:43
7.設正整數a,b,c的最大公因數等於1,並且
ab/(a-b)=c
試證:a-b是一個完全平方數
8.小明忘記寫兩個三位數間的乘號,成了一個六位數,這個六位數等於原乘積的3倍,試求此數

abc831128

2008-02-14 23:05
是否存在100個正整數,使得他們的和等於他們的最小公倍數
一般的 我們對整數n予以討論當n>=3考慮下面的n個正數
3 , 2乘3 , 2乘3^2..........2乘3^n-2, 3^n-1
這n個數的最小公倍數為2乘3^n-1而且他們的合為
Sn=(3+2乘3)+ 2乘3^2+...........+2乘3^n-2+3^n-1
=(3^2+2乘3^2)+.................+2乘3^n-2+3^n-1
=..........
=2乘3^n-1
所以存在(n>=3)的不同的正整數他們的合等於他們最小公倍數令n=100
可知本題的結論是肯定的
PS請問你這些題目是在哪裡找的

abc831128

2008-02-14 23:14
補充說明:考慮n=2的情形可知不存在正整數a,b
使的a+b= [a,b]
事實上若a+b= [a,b]可知a不等於b
不房舍a [a,b]=a+b>b 可知[a,b]大於等於2b>a+b矛盾
這些討論表明存在(n>=2)個不同的正整數
史的他們的合與最小公倍數相等的充要條件是n>=3
請問你有解答嗎嗎???

j7631103

2008-02-14 23:30
引用：

abc831128 寫道:
補充說明:考慮n=2的情形可知不存在正整數a,b
使的a+b= [a,b]
事實上若a+b= [a,b]可知a不等於b
不房舍a [a,b]=a+b>b 可知[a,b]大於等於2b>a+b矛盾
這些討論表明存在(n>=2)個不同的正整數
史的他們的合與最小公倍數相等的充要條件是n>=3
請問你有解答嗎嗎???

嗯,這些題目其實是環球城市數學競賽的題目,只不過是早些年的題目,有些差不多是1980左右的題目了,所以正確的回答方式是要再加上證明了

abc831128

2008-02-14 23:34
7.設正整數a,b,c的最大公因數等於1,並且
ab/(a-b)=c
試證:a-b是一個完全平方數
(a-b)/ab=1/c.............(1)
所以1/b-1/a=1/c
ac-bc=ab
由(1)是可的(a-b)/a=b/c
故(a-b)/a=a/(a-c)
可得a^2=(a-c)(a-b).........(2)
要使a-b是一個完全平方數
只需正( (a-c) , (a-b) )=1
不妨設( (a-c) , (a-b) )=d
由(2)是可得d整除a
由d整除(a-c)和d整除(a-b)可得
d整除b
d整除a
d整除c
由a,b,c的最大公因數等於1
知d=1
故a-b是一個完全平方數


abc831128

2008-02-14 23:36
是噢
那是好久以前的題目
對了你有其他題的解答嗎
想不出來= =|||
toj7631103我有證明在那上面
還是我那個不是證明= =

j7631103

2008-02-14 23:45
引用：

abc831128 寫道:
是噢
那是好久以前的題目
對了你有其他題的解答嗎
想不出來= =|||
toj7631103我有證明在那上面
還是我那個不是證明= =

我不是指那一題,我是說前些回答的的人都只有答案而已,而環球的題目,就是要訓練我們思考和寫證明題
的能力,為了不剝奪別人思考的權利,所以暫不公佈答案

abc831128

2008-02-14 23:46
恩
關於第3第4提這種類型的題目都不知該如何回答
問一個奇怪的問題為什麼你依職登出???

j7631103

2008-02-14 23:51
引用：

abc831128 寫道:
恩
問一個奇怪的問題
為什麼你依職登出???

這個我有觀察到,其實只要在網站上沒有任何動作就會顯示登出,像在發表完這篇後對你而言我就不在線上,相對的對我而言你現在已經登出14秒了,所以這只是網站設定的問題

abc831128

2008-03-04 22:54
4.考慮方程x^2+y^3=z^2的正整數解,它的解是有限多解還是無限
多解
(z-x)(z+x)=y^3，令z=x+1，z+x=2x+1=y^3
只要y是奇數，必有無限多個x與z解
例：y=5，x=(5^3-1)/2=62，z=63，故無限多解
3.若a+b=0則證畢。不然a+b非0，則c+d=-(a+b)亦非0
a^3+b^3-(a+b)=-[c^3+d^3-(c+d)]
(a+b)(aa-ab+bb-1)=-(c+d)(cc-cd+dd-1)
aa-ab+bb=cc-cd+dd
(a+b)^2-3ab=(c+d)^2-3cd，ab=cd
若a=0，則c=0或d=0，則a+c=0或a+d=0，證畢
不然a,b,c,d皆非0，ab=cd，同理證於ac=bd,ad=bc__(1)
故a,b,c,d為2正數、2負數，不妨令a,b正數，c,d負數
由(1)ab=cd且ac=bd，得b/c=c/b，bb=cc，b=c(因b=-c證畢)，矛盾於b正c負
全證畢
6.4.當AB=3,AC=4,BC=5時，因CE/AE=1/3不等於CD/BD=2/3
故DE不平行BA，∠AED非90度，非充份條件，題目是否有誤？

abc831128

2008-03-06 21:56
6.在三角形ABC中,角A=90度,AC>AB,我們在AC邊上選出點E,在BC邊上選出點D,使得
AB=AE=BD 求證:角AED=90度的充分必要條件是 AB:AC:BC=3:4:5

應該是角ADE=90度

角CDE=90度-角BDA=90度-角BAD=角CAD
CD^2=CE*CA
(a-c)^2=b(b-c)
以及
a^2=b^2+c^2
解出a:b:c