這是讀國中的表弟問我一題找規律的題目，好像蠻麻煩的，請大家幫我解一下。

一數列的前四項為 1, 1/3, 7/9, 13/27, .....，若其第101項是一個「分子為b的c次方加上(b-1)的c次方；分母為a乘以b的(c-1)次方」的分數，
而a,b,c是相異的正整數，求a,b,c各是多少？

註：該分數第101項的分子為b^c + (b-1)^c ，分母為 a * b^(c-1)

如果只有前面四項，就可以用一些規律嘗試一下，可是又加上第101項的特殊限制，那就比較麻煩了。

請幫忙一下。
國中

回應

is990101

2003-10-30 10:12
分子的規律為1+6(n-2)
分母的規律為3的(n-1)次方
及第101向為595/3的99次方
其他的自己解決吧!
引用：

寫道:
這是讀國中的表弟問我一題找規律的題目，好像蠻麻煩的，請大家幫我解一下。

一數列的前四項為 1, 1/3, 7/9, 13/27, .....，若其第101項是一個「分子為b的c次方加上(b-1)的c次方；分母為a乘以b的(c-1)次方」的分數，
而a,b,c是相異的正整數，求a,b,c各是多少？

註：該分數第101項的分子為b^c + (b-1)^c ，分母為 a * b^(c-1)

如果只有前面四項，就可以用一些規律嘗試一下，可是又加上第101項的特殊限制，那就比較麻煩了。

請幫忙一下。

訪客 (未驗證)

2003-10-30 13:05
> 分子的規律為1+6(n-2)
> 分母的規律為3的(n-1)次方
> 及第101向為595/3的99次方
> 其他的自己解決吧!

???

這對嗎? n = 1 時, 第一項就不滿足了
總不能說 1 不算這數列的一員吧！

還是想清楚再回吧！

chf0523

2003-10-31 10:55
這一題應該是 " 每一次減去前一次的三分之一"
(大家不妨在數線上畫出來觀察就知道了) ----

這一題真的很棒 !!!

訪客 (未驗證)

2003-10-31 11:52
算你利害!補充一個限制:n必須大於或等於2(此提討論範圍很明顯比2大,故可省略);另外否定別人是要靠實力的,現在請你證明上述第101項的答案錯誤----,想清楚再回,以免自取其辱!

chf0523

2003-11-02 06:10
令 a1= 1
a2=a1 -(2/3)(a1) =a1+(2/3)( -a1)
a3 =a2+(2/3)(a1-a2)
a4=a3 -(2/3)(a3-a2) =a3+(2/3)(a2-a3)
a5 =a4+(2/3)(a3-a4)
a6=a5 -(2/3)(a5-a4) =a5+(2/3)(a4-a5)
a7 =a6+(2/3)(a5-a6)
...... ......
+ a(N) =a(N-1)+(2/3)(a(N-2)-a(N-1))
-----------------------------------------------------------------------
a(N) = 1 - (2/3) a(N-1)
=> a(N) - 3/5 = - (2/3) [a(N-1) - 3/5 ]
=> a(2) - 3/5 = - (2/3) [a(1) - 3/5 ]
a(3) - 3/5 = - (2/3) [a(2) - 3/5 ]
a(4) - 3/5 = - (2/3) [a(3) - 3/5 ]
a(5) - 3/5 = - (2/3) [a(4) - 3/5 ]
...... ......
X a(101) - 3/5 = - (2/3) [a(100) - 3/5 ]
----------------------------------------------------------
a(101) - 3/5 = (-2/3)^100 [a(1) - 3/5 ]
= (2/3)^100 [2/5 ]
所以 a(101) = 3/5 + (2/3)^100 [2/5 ]
= (3^101+2^101) / ( 5* 3^101 )

故 A = 5 , B = 3 , C = 101
===================================
不知道有沒有錯, 有的話煩請告知 , 謝謝 ! ......
===================================:-)

chf0523

2003-11-02 13:39
*********************************

很棒嗎?根本看不到解法&解答?

*********************************

一定要有解法和解答才可以嗎?
我已經點出思考方式了,
說真的, 當我想到這個想法時,
我也還沒動手算出來,
但我便迫不及待地要告訴大家我的想法,
因為我覺得 " 想法比解法更重要"
很值得大家自己試試看 !

這樣說 你們覺得如何呢 ?

chf0523

2003-11-03 00:05
我又得到一個更快的解法了 !
a1=1 => 1
a2=1/3 => 1-(2/3)
a3=7/9 => 1-(2/3)+(2/3)^2
a4=13/27 => 1-(2/3)+(2/3)^2-(2/3)^3
..........
a101 = 1-(2/3)+(2/3)^2-(2/3)^3+ ......+(2/3)^100
= 1+(-2/3)+(-2/3)^2+(-2/3)^3+......+(-2/3)^100
= ( 用等比級數公式即可 )
= (3/5)[1+(2/3)^101]
= (3/5)[(3^101+2^101)/3^101]
= (3^101+2^101)/(5*3^100)

所以 答案依然是 A = 5 , B = 3 , C = 101

訪客 (未驗證)

2003-11-03 16:29
沒錯,

我也是得到這個解:
a_n = 1 - (2/3) A_{n-1}

解此式得
a_n = (3^n - (-1)^n (3-1)^n ) / (5* 3^{n-1})
當 n = 1 時 a_1 = 5/5 = 1.

所以當n = 101時,

a_101 = (3^101 + 2^101) / 5*3^100

因此 a = 5, b = 3, c = 101.