若a,b,c>0，且ax2+bx+c=0有實根，試證明：max{a,b,c}>=(4/9)(a+b+c) 高中 回應 s87009812 Re: 不等式 2007-08-08 14:36 (4/9)(a+b+c)>max{a,b,c} 設max{a,b,c}=b 則因為4(a+c)>5b 4c>4(a-b)+4c>b 0>(b-4c)(b-c) 5bc-4c^2>b^2 但b^2>=4ac so 5bc-4c^2>4ac => 5b>4(a+c) (矛盾) 設設max{a,b,c}=/=b 則令a>=b b>=b^2/4a>4c 因此5b>=4(a+c)>5a => b>a (矛盾) 所以max{a,b,c}>=(4/9)(a+b+c) mathematical2005 Re: 不等式 2007-08-08 17:43 ax2+bx+c=0有實根 => b^2-4ac≧0 (1)a=max{a,b,c}時 a^2≧b^2≧4ac => a≧4c => a/4≧c a+a+(a/4)≧a+b+c => a≧(4/9)(a+b+c) (2)c=max{a,b,c}時，同(1)之論證方法 (3)b=max{a,b,c}時 b-(4/9)(a+b+c) =(1/9)(5b-4a-4c) =(1/9b)[5b^2-4b(a+c)] =(1/9b)[(b^2-4ac)+4b^2-4b(a+c)+4ac] =(1/9b)[(b^2-4ac)+4(b-a)(b-c)] ≧0 由(1)(2)(3)得證max{a,b,c}≧(4/9)(a+b+c)
s87009812 Re: 不等式 2007-08-08 14:36 (4/9)(a+b+c)>max{a,b,c} 設max{a,b,c}=b 則因為4(a+c)>5b 4c>4(a-b)+4c>b 0>(b-4c)(b-c) 5bc-4c^2>b^2 但b^2>=4ac so 5bc-4c^2>4ac => 5b>4(a+c) (矛盾) 設設max{a,b,c}=/=b 則令a>=b b>=b^2/4a>4c 因此5b>=4(a+c)>5a => b>a (矛盾) 所以max{a,b,c}>=(4/9)(a+b+c)
mathematical2005 Re: 不等式 2007-08-08 17:43 ax2+bx+c=0有實根 => b^2-4ac≧0 (1)a=max{a,b,c}時 a^2≧b^2≧4ac => a≧4c => a/4≧c a+a+(a/4)≧a+b+c => a≧(4/9)(a+b+c) (2)c=max{a,b,c}時，同(1)之論證方法 (3)b=max{a,b,c}時 b-(4/9)(a+b+c) =(1/9)(5b-4a-4c) =(1/9b)[5b^2-4b(a+c)] =(1/9b)[(b^2-4ac)+4b^2-4b(a+c)+4ac] =(1/9b)[(b^2-4ac)+4(b-a)(b-c)] ≧0 由(1)(2)(3)得證max{a,b,c}≧(4/9)(a+b+c)
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s87009812
Re: 不等式
2007-08-08 14:36設max{a,b,c}=b
則因為4(a+c)>5b
4c>4(a-b)+4c>b
0>(b-4c)(b-c)
5bc-4c^2>b^2
但b^2>=4ac
so 5bc-4c^2>4ac
=> 5b>4(a+c) (矛盾)
設設max{a,b,c}=/=b
則令a>=b
b>=b^2/4a>4c
因此5b>=4(a+c)>5a => b>a (矛盾)
所以max{a,b,c}>=(4/9)(a+b+c)
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Re: 不等式
2007-08-08 17:43(1)a=max{a,b,c}時
a^2≧b^2≧4ac => a≧4c => a/4≧c
a+a+(a/4)≧a+b+c => a≧(4/9)(a+b+c)
(2)c=max{a,b,c}時，同(1)之論證方法
(3)b=max{a,b,c}時
b-(4/9)(a+b+c)
=(1/9)(5b-4a-4c)
=(1/9b)[5b^2-4b(a+c)]
=(1/9b)[(b^2-4ac)+4b^2-4b(a+c)+4ac]
=(1/9b)[(b^2-4ac)+4(b-a)(b-c)]
≧0
由(1)(2)(3)得證max{a,b,c}≧(4/9)(a+b+c)