十題數論問題(urgent)

1. 加上400後就可以為一個完全平方數的四位整數共有多少個
解： 令該整數為x
1000 = < x < 10000
1400 = < x+400 < 10400
(1400)^1/2 = < (x+400)^1/2 < (10400)^1/2
38 = < (x+400)^1/2 < 102
故加上400後就可以為一個完全平方數的四位整數共有102-38=64個

2. 請問完全平方數 N^2 中，N一定是正數嗎？
A:正負皆可

3. 一個四位數的數碼都由非零的偶數碼組成，它又恰是某個由偶數碼組成的數的完全平方，求此四位數。
解：
令 A^2=2***,4***,6***,8***
符合條件有4624=68^2，8464=92^2

4. 求証，形如3n-1的數不是完全平方數
解：
　假設3n-1=A^2 則A^2+1=3n
設A=3k 則A^2+1=9k^2+1=3p+1
A=3k+1 則A^2+1=9k^2+6k+2=3p+2
A=3k+2 則A^2+1=9k^2+12k+5=3p+2
因此A^2+1必不為3的倍數，此與原假設矛盾，因此形如3n-1的數不是完全平方數

5.求一個四位正整數，它是7的倍數且等於某個自然數的平方和立方和
解：
設A^2+A^3=7K,即A^2(A+1)=7K ,且 10 < A < 22
故A為7的倍數或A+1為7的倍數，因此符合條件有
2366=13^2+13^3
2940=14^2+14^3
8400=20^2+20^3
9702=21^2+21^3
共四個解

6. 求一個被抹去個位和十位數碼後仍是完全平方數的最大的完全平方數(個位和十位不全是零)
解:
不考慮100以下的數，設此最大完全平方數為(10k+a)^2，去掉十位數和個位數後為(10k)^2
其中k > 0 ，a=1~9
(10k+a)^2-(10k)^2 < 100
20*k*a+a^2 < 100
a(20*k+a) < 100
符合條件的(a,k)=(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(4,1)
代入得此平方數為121,144,169,196,441,484,961,1681
故符合條件的最大的完全平方數為1681

7. 求自然數n，使2^8+2^11+2^n為完全平方數。
解：
2^8+2^11+2^n=2^n+2*2^6*2^4+(2^4)^2
故2^n=(2^6)^2=2^12
n=12

8. 已知直角三角形的兩直角邊長為a cm, b cm,斜邊長為k cm，a,b,k都是正整數, a是質數，求証
2(a+b+1)是完全平方數。

解：
k^2-b^2=(k+b)(k-b)=a^2，已知a為質數而k+b > k-b
故k-b=1，k=b+1，將(k+b)(k-b)=a^2改成2b+1=a^2
2(a+b+1)=2a+2b+1+1=2a+a^2+1=(a+1)^2
因此2(a+b+1)是完全平方數

9. 形如8k+6的自然數，能否寫成兩個完全平方數之和。

解：
設A=4a,4a+1,4a+2,4a+3，B=4b,4b+1,4b+2,4b+3
則A^2，B^2除以8的餘數必為0,1,4,9
則A^2+B^2除以8的餘數必為0,1,2,4,5
故形如8k+6的自然數，不能寫成兩個完全平方數之和。

10. 若a,b是相鄰兩自然數，c=ab, 求証：a^2+b^2+c^2是某奇數的平方
解：
設a=n，b=n+1,c=n(n+1)
a^2+b^2+c^2
=2*n^2+2n+1+[n(n+1)]^2
=[n(n+1)]^2+2*n(n+1)+1
=[n(n+1)+1]^2
n(n+1)其一必為偶數，因此n(n+1)+1必為奇數
故a^2+b^2+c^2是某奇數的平方

1.好比植樹問題,
若兩邊都種,則間隔數+1
兩邊都不種,則間隔數-1
一邊種,一邊不種,則為間隔數
a = < x < = b 整數解有b-a+1個
a = < x < b 整數解有b-a個
a < x < = b 整數解有b-a個
a < x < b 整數解有b-a-1 個
2.A^2(1+A)=7K的確打錯了
但考慮為7的倍數
僅A=14,21及A=13,20時A+1=14,21四個解符合

1.釵h題目容或有特殊解法，但指定範圍的數值，若無法立刻想出特解，最好的方法就是縮小範圍

2.第三題不是提到四位數的數碼都由非零的偶數碼組成，那麼數字開頭為奇數者都應淘汰，如此原本考慮9000個數，就可以立刻縮小到4000的範圍內，而介於1000至10000的34個偶數平方數亦可隨之縮小範圍．而4^2=16,6^2=36因10位數字為奇數，對於一個10a+b的偶數而言，其平方為100*a^2+20ab+b^2,其產生的十位數字因20ab緣故必為偶數，故b不能使用4和６，否則進位相加後十位數會產生奇數，同時也不能使用0,如此範圍又縮小了，再考慮a的情形，答案呼之即出．　

3.第五題中A^2+A^3是個四位數,則必介於1000至9999之間,為了縮小範圍，A=10是一看就知道不行的，單考慮A^3，即可將A鎖定範圍在11~21這11個數，即使再考慮加上A^2，也差不多是這樣，就這11個數再考慮A或A+1為7的倍數，不是逐個去試，而是找出14和21，以及分別減1後的13和20．

4.有時候解答會留一手，並非藏私，而是希望給學習者留點思考的空間，版主孫老師往往不會立刻為你解答，希望保留大家學習數學的良好習慣．有時候大家指定要孫老師解答，忘記一個扮演指導者的老師，有他專業的考量，因為尊重每個人的發揮空間，遠比提供解答更為重要．

5.大膽提供自己想法，不要在乎別人的看法，不是實戰，紙上談兵不會弄得頭破血流，我欣賞你追求解答時不懂就不懂，不會裝懂而勇於追問的精神，加油！