請大家幫幫忙!!!
1. 一個六位數滿足以下條件：
a. 它的各位數字都不是零
b. 它是一個完全平方數
c. 它的前兩位數字、中間兩位數字及末兩位數字分別是完全平方數(這裏把它們看作兩位數)
求符合條件的六位數。

2. 使n^2+n+7是完全平方數的所有整數m的積是多少？

3. 一個自然數減去19後是一個完全平方數，這個自然數加上94後仍是一個完全平方數，則這樣的自然數的個數為多少?

4. 一個四位數的數碼由非零偶數碼組成，它又恰是某個由偶數碼組成的數的完全平方，這個四位數是_____?
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回應

bubupin

2007-09-10 03:04
1.
設此六位數ABCDEF為三位數axb之平方
AB=16時，axb估計可能為401~410，但410不合
同理，當AB=25,36,49,64,81時，x均應為0
因此原三位數之十位數字必為o
如此可設此三位數為100a+b，a=4~9，b=4~9
(100a+b)^2=a^2*10000+2ab*100+b^2，此時中間二位數字AB=2ab
2ab=k^2，a,b至少其一為2的倍數，因此(a,b)=(4,8),(8,4)
故此六位數為408^2或804^2，亦即166464，646416

2.
設n^2+n+7=k^2，則(n+1/2)^2+27/4=k^2
兩邊同乘4可得4k^2-(2n+1)^2=27
設l2kl=A，l2n+1l=B， A > B > 0
　(A+B)(A-B)=27*1=9*3，其解為(A,B)=(14,13),(6,3)
　B=13或3，2n+1=-13,13,-3,3，因此n=-7,6,-2,1
故所有m的積=-7*-2*1*6=84

3.
設自然數為A, X^2=A+94，Y^2=A-19，lXl > lYl
　　兩式相減得X^2-Y^2=113
　　(lXl+lYl)(lXl-lYl)=113*1解得(lXl，lYl)=(57，56)
代入得A=3155

4.
設此偶數為二位數10A+B之平方，A=4,6,8，B=2,4,6,8
(10A+B)^2=A^2*100+2AB*10+B^2，其中2AB為偶數，設其個位數字為k，k必為偶數
B^2=4,16,36,64，當B^2=16,36時，產生之十位數字為k+1，k+3均為奇數，不合
因此B=2或8，而A=4,6,8，故二位數10A+B可能為42,48,62,68,82,88
42,62平方為1***,3***，不合，再檢查48,82,88均不合，故此偶數為68^2=4624

註:抱歉! 這題之前解過,誤為二位數偶數之平方,因此得另解92^2,但現由偶數碼組成的二位數則解題較先前簡單多了.