從彰師大數學系柱子上面抄下來的,希望能帶動這邊數學討論的風氣..
1. 證明:對a,b,c為相異之比例數(ratio-nal),證明
1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(a-c)^2
為一完全平方數(比例數之平方)

2.求7^9999 的末三位

3.已知ABDC為矩形,且E,F三等分CD,如果 < BEF=< CBF,求CD:BD之比值

有些有點忘了,不太好意思
覺得有點抱歉,同學執意要我陪他去解...他在人家的問題上把解法寫上去..兩題,我覺得相當過分,但同學都這麼辛苦付出了...我就只好勉為其難...的把剩下的一題補上了...高中嗎!好玩的年紀...雖然有點..
昨天有些打錯...不太好意思,不過第2題末4位也可以推出來
高中

回應

84927

2007-11-01 21:02
什麼是相異之比例數和完全平方數?? :-D :-D :-D

路過

2007-11-01 21:11
問的好,ratio-nal比例數,又有人翻譯成有理數= =.因為rational ,爆笑的翻譯XD...有道理= =
這邊完全平方數的意思是,可以寫成比例數的平方..

bubupin

2007-11-02 21:51
1. 證明:對a,b,c為相異之比例數(ratio-nal),證明
1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(a-c)^2為一完全平方數

設a=b/r，c=br
1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(a-c)^2
=r^2/b^2(1-r)^2+1/b^2(1-r)^2+(r^2/(1+r)^2)*b^2(1-r)^2
=(r^4+2r^3+r^2+r^2+2r+1+r^2)/b^2(1-r)^2=(r^2+r+1)^2/b^2(r-1)^2
=(r^2+r+1/br-b)^2=[(r+1+1/r)/(b-b/r)]^2=[(r+1+1/r)/(b-a)]^2
=[(br+b+b/r)/(b^2-ab)]^2=[(a+b+c)/(b^2-ab)]^2

2.求7^9999 的末四位
7^9999=(10-3)^9999=................+C(9999,3)*10^3-C(9999,2)*10^2+C(9999,1)*10^1-1
9999*9998*9997/3*2*1=3333*4999*9997=.......9
9999*9998/2=9999*4999=(10000-1)*4999=490000-4999=485001
9000-100+9990-1=....8889

3.已知ABCD為矩形,且E,F三等分CD,如果 < BEF=< CBF,求CD:BD之比值

令BC=x，CF=y，CD=3y
x:2y=y:x
x^2=2y^2
x:y=2^1/2:1
BC:CD=x:3y=2^1/2:3

我看仔細一點，第三題你的圖形頂點ABCD沒有照順序擺r

路過

2007-11-02 22:12
大哥你太強了= =...可是我想說....看仔細點= =
我假設7^9999同餘7^n(mod 10000)

其中9999>n

7^9999≡7^n(mod 10000)
7^n * ( 7^(9999-n) -1 )≡0(mod 10000)

7^n可省去~

7^(9999-n) ≡ 1 (mod 10000)

顯然的它是偶數

7^(9999-n) ≡ 1 (mod 4)

(9999-n)為偶數假設=2x

49^x ≡ 1 (mod 16)

考慮5~

49^x ≡ 1 (mod 25)

x為偶數假設=2y

2401^y ≡ 1 (mod 625)

(2400+1)^y ≡ 1 (mod 625)

2400y + 1 ≡ 1 (mod 625)

y為25的倍數假設=25z

x=50z,9999-n=100z

假設n=99吧...100個一循環

所以可知第一百個為0001

可推得第99個為7143



路過

2007-11-02 22:32
啊..不好意思,對不起啊...
這樣就行了~

bubupin

2007-11-02 22:42
嗯,沒錯
忘了乘3
訂正:
7^9999=(10-3)^9999=................+C(9999,3)*10^3*3^9996-C(9999,2)*10^2*3^9997+C(9999,1)*10^1*3^9998-3^9999

不過這個算法沒有你的正確

路過

2007-11-02 22:49
只是我這個算法感覺比較方便而已

bubupin

2007-11-03 12:54
1.
10^4=2^4*5^4，7^4(mod 5)=1，故7^(4*5^3)(mod 5^4)=1必成立
又7^2(mod 2^4)=1，
故7^500(mod 10^4)=1，7^10000(mod 10^4)=1
設7^9999(mod 10^4)=k，則7k(mod 10^4)=1，
設7k=a*10000+1，已知a=5時50-1=49可被7除盡，故k=50001/7=7143

2.
C(50,3)(mod 10)=0，C(50,2)(mod 10)=5，7^2=49=50-1
(50-1)^50=........+C(5o,2)*5o^2-C(50,1)*50+1=10^4*a+12500-2500+1=10^4*b+1
故7^100(mod 10^4)=1，7^10000(mod 10^4)=1，同上可得知末四位為7143