數學證明

設ax^2+bx+c其中一解為有理根，則另一解亦必為有理根
設其解為-n/m，-q/p
ax^2+bx+c=(mx+n)(px+q)
ax^2+bx+c=mnx^2+(mp+qn)x+nq
因a,c為奇數，故m,n,n,q為奇數
則b=mp+qn必為偶數，與原假設矛盾，故a,b,c為奇數時方程式無有理根

若ax^2+bx+c有解-n/m,-q/p (皆為既約)
則ax^2+bx+c=a(x+n/m)(x+q/p)=(a/mp)(mx+n)(px+q)
比較一次項係數b=amq/mp+apn/mp=aq/p+an/m
所以a為mp的倍數，a/mp為整數，m,p為a的因數
比較常數項，c為nq的整數倍，n,q為c的，因數
因為a,c為奇數，所以m,n,p,q全為奇數
因a為奇數且a/mp為整數，所以a/mp為奇數
b=(a/mp)(mq+np)=奇*(奇*奇+奇*奇)=奇*(奇+奇)=奇*偶=偶，矛盾。