正五邊形

一．
1.連接任一對角線使成一等腰梯形和一等腰三角形.

2.過等腰三角形頂點再作一條對角線將原三角形再分割成兩等腰三角形

3.設兩等腰三角形邊長為(n,n,x)與(x,x,n),則原等腰三角形的底為(n+x)

4.(x,x,n)之小三角形與原三角形(n,n,n+x)相似
n:n+x=x:n
x^2+nx-n^2=0
x=n*[-1+(5)^1/2]/2
故原等腰三角形的底=n+x=n*[1+(5)^1/2]/2

5.過原等腰三角形頂點作三角形與梯形的高h1,h2
則h1^2=n^2-[(n+x)/2]^2，h2=h1*(n/x)

6.正五邊形的面積＝等腰梯形+等腰三角形

二．本題使用高中三角函數亦可迅速求得面積

以中心點切成五個全等等腰三角形，角度54-72-54

利用正弦定律求得腰長x＝n*sin54/sin72

故五邊形面積等於5*(1/2*x*x*sin72)

引用：

笑哥 寫道:
以中心點切成五個全等等腰三角形，角度54-72-54

利用正弦定律求得腰長x＝n*sin54/sin72

故五邊形面積等於5*(1/2*x*x*sin72)

補充
sin18° ＝ √[(3－√5)/8]
sin36° ＝ √(10＋2√5)/4
sin54° = [√(5) + 1] / 2
sin72° ＝ √[(5＋√5)/8]